O objetivo deste problema será mostrar como calcular certas integrais reais utilizando integrais complexas.
a) Calcule a integral
integral0^pi e^(1+i) x d x
utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo para funções a valores complexos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado com cálculo de integrais de funções que têm valores complexos. Para resolver, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que basicamente nos diz como integrar funções usando suas antiderivadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar uma antiderivada para a função . Sabemos que a antiderivada de é , onde é uma constante. Aqui, .

Passo 3

Aplicando a regra, a antiderivada de 11 + i e^(1+i)x é:
11 + i times 1 - i1 - i = 1 - i(1)^2 - (i)^2 = 1 - i1 - (-1) = 1 - i2 = 12 - i2
Agora, vamos simplificar . Para isso, multiplicamos o numerador e o denominador por para eliminar o número imaginário do denominador:

Passo 4

Agora que temos a antiderivada simplificada, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que:
integrala^b f(x) , dx = F(b) - F(a)
onde é a antiderivada de .

Passo 5

Então, calculamos:
[ ( 12 - i2 ) e^(1+i)x ]0^pi = ( 12 - i2 ) e^(1+i)pi - ( 12 - i2 ) e^0
Sabemos que = ( 12 - i2 ) e^(1+i)pi - ( 12 - i2 ) , então:

Passo 6

Simplificando mais, podemos fatorar = ( 1 - i2 ) ( e^(1+i)pi - 1 ) :

Passo 7

Vamos expressar e^(1+i)pi = e^pi cdot e^ipi usando a propriedade de exponenciais:
e^(1+i)pi = e^pi cdot (-1) = -e^pi
Sabemos que , então:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão:
( 1 - i2 ) ( -e^pi - 1 ) = ( 1 - i2 ) (-e^pi - 1)
Podemos distribuir:
= -(1 - i)(e^pi + 1)2 = -(e^pi + 1) + i(e^pi + 1)2 = -(e^pi + 1)2 + i(e^pi + 1)2

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados