O objetivo deste problema será mostrar como calcular certas integrais reais utilizando integrais complexas.
a) Calcule a integral
utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo para funções a valores complexos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado com cálculo de integrais de funções que têm valores complexos. Para resolver, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que basicamente nos diz como integrar funções usando suas antiderivadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar uma antiderivada para a função . Sabemos que a antiderivada de é , onde é uma constante. Aqui, .

Passo 3

Aplicando a regra, a antiderivada de é:
Agora, vamos simplificar . Para isso, multiplicamos o numerador e o denominador por para eliminar o número imaginário do denominador:

Passo 4

Agora que temos a antiderivada simplificada, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que:
onde é a antiderivada de .

Passo 5

Então, calculamos:
Sabemos que , então:

Passo 6

Simplificando mais, podemos fatorar :

Passo 7

Vamos expressar usando a propriedade de exponenciais:
Sabemos que , então:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão:
Podemos distribuir:

Resposta

A integral vale .

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e
Calcule:
c) , onde é um complexo fixo com .
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