O objetivo deste problema será mostrar como calcular certas integrais reais utilizando integrais complexas.
a) Calcule a integral
utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo para funções a valores complexos.
a) Calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está relacionado com cálculo de integrais de funções que têm valores complexos. Para resolver, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que basicamente nos diz como integrar funções usando suas antiderivadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar uma antiderivada para a função
. Sabemos que a antiderivada de
é
, onde
é uma constante. Aqui,
.
Passo 3
Aplicando a regra, a antiderivada de
é:
Agora, vamos simplificar
. Para isso, multiplicamos o numerador e o denominador por
para eliminar o número imaginário do denominador:
Passo 4
Agora que temos a antiderivada simplificada, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que:
onde
é a antiderivada de
.
Passo 5
Então, calculamos:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Simplificando mais, podemos fatorar
:
Passo 7
Vamos expressar
usando a propriedade de exponenciais:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão:
Podemos distribuir:
Resposta
A integral vale
.