Calcule:
c) lim x -1 3+x-x-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular o limite de quando se aproxima de . Isso envolve conceitos de limites de funções racionais, onde analisamos o comportamento da função perto de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente (x = -1\ na expressão:
3 + x-x -1 = 3 + (-1)-(-1) -1 = 21 -1 = 20
Aí enxergamos que temos uma divisão por zero, que não é definida. Isso significa que precisamos analisar melhor como a função se comporta à medida que se aproxima de .

Passo 3

Vamos olhar para o denominador -x -1 = -(-1 + h) -1 = 1 - h -1 = -h quando -x -1 = -(-1 - h) -1 = 1 + h -1 = h está perto de :
  • Se se aproxima de pela direita ( ):
    Suponha que , onde é um número bem pequeno positivo. Então:
    Como é positivo e pequeno, é negativo e próximo de zero.
  • Se se aproxima de pela esquerda ( ):
    Suponha que , onde é um número bem pequeno positivo. Então:
    Aqui, é positivo e próximo de zero, então também é positivo e pequeno.

Passo 4

Agora, vamos analisar o numerador 3 + x = 3 + (-1) = 2 quando se aproxima de :
Então o numerador tende a 2, que é um número positivo.
  • Quando se aproxima de pela direita ( ):
    O numerador é positivo ( ) e o denominador tende a negativo ( ). Então, a fração tende a .
  • Quando se aproxima de pela esquerda ( ):
    O numerador é positivo ( ) e o denominador tende a positivo ( ). Assim, a fração tende a .

Resposta

O limite tende a quando se aproxima de pela direita e a quando se aproxima pela esquerda. Portanto, o limite não existe de forma finita, mas podemos dizer que ele tende a .

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