Encontre a declividade da reta tangente à curva de intersecção da superfície 36 x^2 - 9y^2 + 4z^2 - 36 = 0 com o plano x = 1 no ponto (1, raiz(12), 3). Interprete essa declividade como uma derivada parcial.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a declividade da reta tangente à curva onde a superfície intersecta o plano no ponto . A gente vai usar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente sobre superfícies, curvas de intersecção e derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar calcular os vetores tangentes à curva de intersecção e usar derivadas parciais para interpretar a declividade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a curva de intersecção entre a superfície dada e o plano . Substituindo na equação da superfície, temos:

Passo 3

Simplificando a equação, temos:
Então, a curva de intersecção é definida por e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a reta tangente a essa curva no ponto dado . Primeiro, verificamos se o ponto satisfaz as equações da curva:
ãé
Parece que houve um erro. Vamos corrigir isso.

Passo 5

Reavaliando a equação :
Para :
Mas o ponto dado é , e , que não coincide com . Parece que há uma inconsistência no enunciado ou no ponto fornecido. Vamos assumir que o ponto correto é para prosseguir.

Passo 6

Com o ponto correto , a curva de intersecção é e . Para encontrar a reta tangente, precisamos de um vetor diretor da curva nesse ponto.

Passo 7

A curva pode ser parametrizada em termos de . Vamos deixar , então:
O vetor posição é .

Passo 8

Derivando em relação a :
Esse é o vetor diretor da reta tangente na curva.

Passo 9

A declividade (slope) da reta tangente é a razão entre a variação de e a variação de :

Passo 10

Agora, interpretando essa declividade como uma derivada parcial, ela representa a taxa de variação de em relação a na direção da reta tangente à curva de intersecção no ponto considerado.

Resposta

A declividade da reta tangente é .

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