Encontre a declividade da reta tangente à curva de intersecção da superfície com o plano no ponto . Interprete essa declividade como uma derivada parcial.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a declividade da reta tangente à curva onde a superfície intersecta o plano no ponto . A gente vai usar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente sobre superfícies, curvas de intersecção e derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar calcular os vetores tangentes à curva de intersecção e usar derivadas parciais para interpretar a declividade.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a curva de intersecção entre a superfície dada e o plano . Substituindo na equação da superfície, temos:
Passo 3
Simplificando a equação, temos:
Então, a curva de intersecção é definida por e .
Passo 4
Agora, vamos encontrar a reta tangente a essa curva no ponto dado . Primeiro, verificamos se o ponto satisfaz as equações da curva:
Parece que houve um erro. Vamos corrigir isso.
Passo 5
Reavaliando a equação :
Para :
Mas o ponto dado é , e , que não coincide com . Parece que há uma inconsistência no enunciado ou no ponto fornecido. Vamos assumir que o ponto correto é para prosseguir.
Passo 6
Com o ponto correto , a curva de intersecção é e . Para encontrar a reta tangente, precisamos de um vetor diretor da curva nesse ponto.
Passo 7
A curva pode ser parametrizada em termos de . Vamos deixar , então:
O vetor posição é .
Passo 8
Derivando em relação a :
Esse é o vetor diretor da reta tangente na curva.
Passo 9
A declividade (slope) da reta tangente é a razão entre a variação de e a variação de :
Passo 10
Agora, interpretando essa declividade como uma derivada parcial, ela representa a taxa de variação de em relação a na direção da reta tangente à curva de intersecção no ponto considerado.