Encontre a declividade da reta tangente à curva de intersecção da superfície
com o plano
no ponto
. Interprete essa declividade como uma derivada parcial.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a declividade da reta tangente à curva onde a superfície
intersecta o plano
no ponto
. A gente vai usar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente sobre superfícies, curvas de intersecção e derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar calcular os vetores tangentes à curva de intersecção e usar derivadas parciais para interpretar a declividade.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a curva de intersecção entre a superfície dada e o plano
. Substituindo
na equação da superfície, temos:
Passo 3
Simplificando a equação, temos:
Então, a curva de intersecção é definida por
e
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a reta tangente a essa curva no ponto dado
. Primeiro, verificamos se o ponto satisfaz as equações da curva:
Parece que houve um erro. Vamos corrigir isso.
Passo 5
Reavaliando a equação
:
Para
:
Mas o ponto dado é
, e
, que não coincide com
. Parece que há uma inconsistência no enunciado ou no ponto fornecido. Vamos assumir que o ponto correto é
para prosseguir.
Passo 6
Com o ponto correto
, a curva de intersecção é
e
. Para encontrar a reta tangente, precisamos de um vetor diretor da curva nesse ponto.
Passo 7
A curva pode ser parametrizada em termos de
. Vamos deixar
, então:
O vetor posição é
.
Passo 8
Derivando
em relação a
:
Esse é o vetor diretor da reta tangente na curva.
Passo 9
A declividade (slope) da reta tangente é a razão entre a variação de
e a variação de
:
Passo 10
Agora, interpretando essa declividade como uma derivada parcial, ela representa a taxa de variação de
em relação a
na direção da reta tangente à curva de intersecção no ponto considerado.
Resposta
A declividade da reta tangente é
.