Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.
b)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que pede para verificar se a função é diferenciável. A função é definida de forma diferente dependendo se é menor que 1 ou maior ou igual a 1. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de continuidade e derivadas parciais, que são essenciais para determinar a diferenciabilidade de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em todo o domínio. A continuidade é um requisito básico para a diferenciabilidade. A função é dada por:
Para , o denominador é negativo, então a função envolve o exponencial de um número negativo, o que tende a zero à medida que se aproxima de 1 pela parte inferior.
Para , a função é definida como zero. Vamos verificar o limite quando se aproxima de 1:
Portanto, a função é contínua em todo o domínio.

Passo 3

Agora, vamos analisar as derivadas parciais de . Para a função ser diferenciável, as derivadas parciais devem existir e ser contínuas.
Para :
Para , as derivadas parciais são zero, já que a função é constante.

Passo 4

Precisamos verificar a continuidade das derivadas parciais no ponto onde . Observamos que, conforme se aproxima de 1, o denominador tende a zero, o que faz com que as derivadas parciais tendam ao infinito. Isso indica uma descontinuidade nas derivadas parciais nesse ponto.

Passo 5

Como as derivadas parciais não são contínuas na fronteira , a função não é diferenciável nesse ponto, mesmo sendo contínua.

Resposta

A função não é diferenciável na fronteira onde .

Exercícios relacionados

Calcule:
c)
Encontre a declividade da reta tangente à curva de intersecção da superfície com o plano no ponto . Interprete essa declividade como uma derivada parcial.
Calcule, se existir:
h) para
A função é continua ? Justifique.