Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.
b)
b)
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que pede para verificar se a função
é diferenciável. A função é definida de forma diferente dependendo se
é menor que 1 ou maior ou igual a 1. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de continuidade e derivadas parciais, que são essenciais para determinar a diferenciabilidade de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em todo o domínio. A continuidade é um requisito básico para a diferenciabilidade. A função é dada por:
Para
, o denominador
é negativo, então a função envolve o exponencial de um número negativo, o que tende a zero à medida que
se aproxima de 1 pela parte inferior.
Para
, a função é definida como zero. Vamos verificar o limite quando
se aproxima de 1:
Portanto, a função é contínua em todo o domínio.
Passo 3
Agora, vamos analisar as derivadas parciais de
. Para a função ser diferenciável, as derivadas parciais devem existir e ser contínuas.
Para
:
Para
, as derivadas parciais são zero, já que a função é constante.
Passo 4
Precisamos verificar a continuidade das derivadas parciais no ponto onde
. Observamos que, conforme
se aproxima de 1, o denominador
tende a zero, o que faz com que as derivadas parciais tendam ao infinito. Isso indica uma descontinuidade nas derivadas parciais nesse ponto.
Passo 5
Como as derivadas parciais não são contínuas na fronteira
, a função
não é diferenciável nesse ponto, mesmo sendo contínua.
Resposta
A função
não é diferenciável na fronteira onde
.
Exercícios relacionados
Calcule:
c)
c)
Encontre a declividade da reta tangente à curva de intersecção da superfície
com o plano
no ponto
. Interprete essa declividade como uma derivada parcial.
Calcule, se existir:
h) para
h)
A função
é continua
? Justifique.