Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.
b) f(x, y)=cle^(1x^2+y^2-1) & se x^2+y^2<1 0 & se x^2+y^2 >= 1

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que pede para verificar se a função é diferenciável. A função é definida de forma diferente dependendo se é menor que 1 ou maior ou igual a 1. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de continuidade e derivadas parciais, que são essenciais para determinar a diferenciabilidade de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em todo o domínio. A continuidade é um requisito básico para a diferenciabilidade. A função é dada por:
f(x, y) = e^(1x^2+y^2-1) & se x^2+y^2<1 0 & se x^2+y^2 >= 1
Para limx^2 + y^2 to 1^- e^(1x^2+y^2-1) = 0 = f(x, y) para x^2 + y^2 = 1 , o denominador é negativo, então a função envolve o exponencial de um número negativo, o que tende a zero à medida que se aproxima de 1 pela parte inferior.
Para , a função é definida como zero. Vamos verificar o limite quando se aproxima de 1:
Portanto, a função é contínua em todo o domínio.

Passo 3

Agora, vamos analisar as derivadas parciais de partial fpartial x = f(x, y) cdot ( -2x(x^2 + y^2 - 1)^2 ) . Para a função ser diferenciável, as derivadas parciais devem existir e ser contínuas.
Para partial fpartial y = f(x, y) cdot ( -2y(x^2 + y^2 - 1)^2 ) :
Para , as derivadas parciais são zero, já que a função é constante.

Passo 4

Precisamos verificar a continuidade das derivadas parciais no ponto onde . Observamos que, conforme se aproxima de 1, o denominador tende a zero, o que faz com que as derivadas parciais tendam ao infinito. Isso indica uma descontinuidade nas derivadas parciais nesse ponto.

Passo 5

Como as derivadas parciais não são contínuas na fronteira , a função não é diferenciável nesse ponto, mesmo sendo contínua.

Resposta

A função não é diferenciável na fronteira onde .

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