Calcule:
© lim x 0 raiz[3]x^3+1x+1

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de limites e simplificação de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz cúbica: . Nosso objetivo é simplificar essa fração para facilitar o cálculo do limite.

Passo 3

Observamos que o numerador a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) é uma soma de cubos. Podemos fatorar essa expressão usando a fórmula da soma de cubos:
onde e .

Passo 4

Aplicando a fatoração:
x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x cdot 1 + 1^2) = (x + 1)(x^2 - x + 1)

Passo 5

Substituímos a fatoração na expressão original:
x^3 + 1x + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)x + 1

Passo 6

Simplificamos a fração cancelando o termo (x + 1)(x^2 - x + 1)x + 1 = x^2 - x + 1 no numerador e no denominador:
Esse passo é válido para , mas como estamos considerando se aproximando de 0, não há problemas.

Passo 7

Agora, nossa expressão original se transforma em:
limx 0 raiz[3]x^2 - x + 1

Passo 8

Como a expressão dentro da raiz cúbica está simplificada, podemos substituir diretamente raiz[3]0^2 - 0 + 1 = raiz[3]1 = 1 :

Resposta

O limite é igual a 1.

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