Calcule:
(e)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede: calcular o limite quando se aproxima de 2 da expressão . Esse problema está relacionado com o estudo de limites em funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar a Regra de L’Hospital, que é útil quando encontramos uma indeterminação do tipo ou .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na expressão para ver se conseguimos resolver o limite dessa forma:
Sabemos que porque a tangente de qualquer múltiplo inteiro de é zero. Então temos:
Isso é uma indeterminação, o que significa que não conseguimos calcular o limite diretamente dessa maneira. Por isso, precisamos usar a Regra de L’Hospital.

Passo 3

A Regra de L’Hospital diz que se temos um limite no formato ou , podemos calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente. Ou seja:
desde que o novo limite exista.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador da nossa expressão:
  • Numerador:
    A derivada de é . Então,
  • Denominador:
    A derivada de é 1, então,

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hospital, o limite original fica:
Sabemos que , então:
E como ,
Portanto,

Resposta

O limite é .

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©
Calcule:
(t) .