Calcule:
(e)
(e)
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede: calcular o limite quando
se aproxima de 2 da expressão
. Esse problema está relacionado com o estudo de limites em funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar a Regra de L’Hospital, que é útil quando encontramos uma indeterminação do tipo
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver se conseguimos resolver o limite dessa forma:
Sabemos que
porque a tangente de qualquer múltiplo inteiro de
é zero. Então temos:
Isso é uma indeterminação, o que significa que não conseguimos calcular o limite diretamente dessa maneira. Por isso, precisamos usar a Regra de L’Hospital.
Passo 3
A Regra de L’Hospital diz que se temos um limite no formato
ou
, podemos calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente. Ou seja:
desde que o novo limite exista.
Passo 4
Vamos derivar o numerador e o denominador da nossa expressão:
-
Numerador:A derivada de
é . Então, -
Denominador:A derivada de
é 1, então,
Passo 5
Aplicando a Regra de L’Hospital, o limite original fica:
Sabemos que
, então:
E como
,
Portanto,
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Calcule:
(q)
(q)
Calcule:
(n)
(n)
Calcule:
©
©
Calcule:
(t) .
(t)