Calcule:
(e) lim x 2 tg(pi x)x-2

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede: calcular o limite quando se aproxima de 2 da expressão . Esse problema está relacionado com o estudo de limites em funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar a Regra de L’Hospital, que é útil quando encontramos uma indeterminação do tipo ou .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir tan(pi cdot 2)2 - 2 = tan(2pi)0 diretamente na expressão para ver se conseguimos resolver o limite dessa forma:
00
Sabemos que porque a tangente de qualquer múltiplo inteiro de é zero. Então temos:
Isso é uma indeterminação, o que significa que não conseguimos calcular o limite diretamente dessa maneira. Por isso, precisamos usar a Regra de L’Hospital.

Passo 3

A Regra de L’Hospital diz que se temos um limite no formato limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) ou , podemos calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente. Ou seja:
desde que o novo limite exista.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador da nossa expressão:
  • Numerador: f'(x) = sec^2(pi x) cdot pi = pi sec^2(pi x)
    A derivada de g'(x) = 1 é . Então,
  • Denominador:
    A derivada de é 1, então,

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hospital, o limite original fica:
limx to 2 pi sec^2(pi x)1 = pi sec^2(2pi)
Sabemos que sec^2(2pi) = 1cos^2(2pi) , então:
sec^2(2pi) = 1
E como pi cdot 1 = pi ,
Portanto,

Resposta

O limite é .

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