Calcule, em cada caso, a integral duplaD f(x, y) d x d y e esboce o domínio D.
b) f(x, y)=x y e D=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2 <= 2, y <= x e x >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região definida por , e . Isso envolve trabalhar com integrais duplas e entender como descrever a região de integração. Vamos precisar usar coordenadas polares para simplificar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender bem a região . A condição descreve um círculo com raio centrado na origem. A desigualdade significa que estamos considerando os pontos abaixo da reta . E restringe a região para a metade direita do plano. Juntando tudo, é uma fatia do círculo no primeiro e quarto quadrantes, abaixo da reta e à direita do eixo .

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos converter tudo para coordenadas polares. Lembrando que:
x = r costheta y = r sintheta dx , dy = r , dr , dtheta
A função f(r, theta) = r costheta cdot r sintheta = r^2 costheta sintheta fica:
Agora, precisamos definir os limites de integração em coordenadas polares. O raio vai de 0 a , já que . O ângulo vai de a , porque a reta corresponde a e inclui ângulos menores e maiores dentro desse intervalo considerando .

Passo 4

Vamos montar a integral dupla em coordenadas polares:
integral duplaD x y , dx , dy = integral-pi4^pi4 integral0^raiz2 r^2 costheta sintheta cdot r , dr , dtheta = integral-pi4^pi4 costheta sintheta integral0^raiz2 r^3 , dr , dtheta
Primeiro, resolvemos a integral em integral0^raiz2 r^3 , dr = [ r^44 ]0^raiz2 = (raiz2)^44 - 0 = 44 = 1 :
integral-pi4^pi4 costheta sintheta cdot 1 , dtheta = integral-pi4^pi4 costheta sintheta , dtheta
Agora, substituímos de volta na integral:
costheta sintheta = 12 sin(2theta)
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica integral-pi4^pi4 12 sin(2theta) , dtheta = 12 [ -cos(2theta)2 ]-pi4^pi4 = 14 ( -cos(pi2) + cos(-pi2) ) , então:
14 (0 + 0) = 0
Portanto:
Sabendo que e , temos:

Resposta

0

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