Calcule, em cada caso, a
e esboce o domínio
.
b)
e
e
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de
sobre a região
definida por
,
e
. Isso envolve trabalhar com integrais duplas e entender como descrever a região de integração. Vamos precisar usar coordenadas polares para simplificar a conta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender bem a região
. A condição
descreve um círculo com raio
centrado na origem. A desigualdade
significa que estamos considerando os pontos abaixo da reta
. E
restringe a região para a metade direita do plano. Juntando tudo,
é uma fatia do círculo no primeiro e quarto quadrantes, abaixo da reta
e à direita do eixo
.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos converter tudo para coordenadas polares. Lembrando que:
A função
fica:
Agora, precisamos definir os limites de integração em coordenadas polares. O raio
vai de 0 a
, já que
. O ângulo
vai de
a
, porque a reta
corresponde a
e
inclui ângulos menores e maiores dentro desse intervalo considerando
.
Passo 4
Vamos montar a integral dupla em coordenadas polares:
Primeiro, resolvemos a integral em
:
Agora, substituímos de volta na integral:
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica
, então:
Portanto:
Sabendo que
e
, temos:
Resposta
0
Exercícios relacionados
(2 pontos) Calcule o valor máximo e o valor mínimo de
sujeito à restrição
.
(2 pontos) Considere a função
. a) verifique que
; b) calcule o gradiente de
em
; c) encontre a equação da reta tangente à curva
no ponto
.
Calcule, em cada caso, a
e esboce o domínio
.
h) e
o triângulo de vértices
e
.
h)
Calcule, em cada caso, a
e esboce o domínio
.
k) e
o conjunto de todos os
tais que
e
.
k)