(2 pontos) Considere a função f(x, y) = x^3 - y^3. a) verifique que f(2,1) = 7; b) calcule o gradiente de f em (2,1); c) encontre a equação da reta tangente à curva f = 7 no ponto (2,1).

Passo 1

Beleza, então vamos lá! Temos uma função de duas variáveis . O exercício está dividido em três partes:
a) Verificar o valor de ;
b) Calcular o gradiente de no ponto ;
c) Encontrar a equação da reta tangente à curva nesse ponto.
Para resolver isso, precisamos entender como avaliar funções, calcular derivadas parciais (para o gradiente) e encontrar a equação da reta tangente usando essas derivadas.

Passo 2

Vamos começar pela parte a: verificar que .
Para isso, basta substituir e na função:
Então, confirmamos que .

Passo 3

Agora, na parte b: calcular o gradiente de no ponto .
O gradiente de uma função é um vetor que contém as derivadas parciais em relação a e . Ou seja:
Calculando as derivadas parciais:
Agora, substituindo e :
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 4

Por último, na parte c: encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto .
Primeiro, sabemos que a reta tangente a uma curva nível em um ponto é perpendicular ao gradiente nesse ponto. A equação da reta na forma geral é:
Onde é o gradiente e é o ponto de tangência.
Substituindo e :
Simplificando:
Dividindo todos os termos por 3 para simplificar:
Ou, reescrevendo de forma tradicional:

Resposta

a)
b) O gradiente de em é
c) A equação da reta tangente à curva no ponto é

Exercícios relacionados