(2 pontos) Considere a função f(x, y) = x^3 - y^3. a) verifique que f(2,1) = 7; b) calcule o gradiente de f em (2,1); c) encontre a equação da reta tangente à curva f = 7 no ponto (2,1).

Passo 1

Beleza, então vamos lá! Temos uma função de duas variáveis . O exercício está dividido em três partes:
a) Verificar o valor de ;
b) Calcular o gradiente de no ponto ;
c) Encontrar a equação da reta tangente à curva nesse ponto.
Para resolver isso, precisamos entender como avaliar funções, calcular derivadas parciais (para o gradiente) e encontrar a equação da reta tangente usando essas derivadas.

Passo 2

Vamos começar pela parte a: verificar que .
Para isso, basta substituir e na função:
Então, confirmamos que .

Passo 3

Agora, na parte b: calcular o gradiente de no ponto .
O gradiente de uma função é um vetor que contém as derivadas parciais em relação a e . Ou seja:
Calculando as derivadas parciais:
Agora, substituindo e :
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 4

Por último, na parte c: encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto .
Primeiro, sabemos que a reta tangente a uma curva nível em um ponto é perpendicular ao gradiente nesse ponto. A equação da reta na forma geral é:
Onde é o gradiente e é o ponto de tangência.
Substituindo e :
Simplificando:
Dividindo todos os termos por 3 para simplificar:
Ou, reescrevendo de forma tradicional:

Resposta

a)
b) O gradiente de em é
c) A equação da reta tangente à curva no ponto é

Exercícios relacionados

(2 pontos) Seja f(x, y) = sen(x + 2y). Calcule a derivada direcional de f no ponto (0,0) na direção do vetor unitário (1/raiz(2), 1/raiz(2)).
a) -3 / raiz(2)
b) -1 / raiz(2)
c) 0
d) 3 / raiz(2)
e) 5 / raiz(2).
(2 pontos) Considere a função z=f(x, y) definida implicitamente por x^2+2 y^2+3 z^2=12. Calcule partial zpartial x quando (x, y, z)=(3,0,1).
a) -5
b) -3
c) -1
d) 1
e) 3 .
(2 pontos) Calcule o valor máximo e o valor mínimo de x - 3y - 1 sujeito à restrição x^2 + 3y^2 = 36.
Calcule, em cada caso, a integral duplaD f(x, y) d x d y e esboce o domínio D.
b) f(x, y)=x y e D=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2 <= 2, y <= x e x >= 0.