(2 pontos) Considere a função
. a) verifique que
; b) calcule o gradiente de
em
; c) encontre a equação da reta tangente à curva
no ponto
.
Passo 1
Beleza, então vamos lá! Temos uma função de duas variáveis
. O exercício está dividido em três partes:
a) Verificar o valor de ;
b) Calcular o gradiente de no ponto
;
c) Encontrar a equação da reta tangente à curva nesse ponto.
Para resolver isso, precisamos entender como avaliar funções, calcular derivadas parciais (para o gradiente) e encontrar a equação da reta tangente usando essas derivadas.
a) Verificar o valor de
b) Calcular o gradiente de
c) Encontrar a equação da reta tangente à curva
Para resolver isso, precisamos entender como avaliar funções, calcular derivadas parciais (para o gradiente) e encontrar a equação da reta tangente usando essas derivadas.
Passo 2
Vamos começar pela parte a: verificar que
.
Para isso, basta substituir
e
na função:
Então, confirmamos que
.
Passo 3
Agora, na parte b: calcular o gradiente de
no ponto
.
O gradiente de uma função
é um vetor que contém as derivadas parciais em relação a
e
. Ou seja:
Calculando as derivadas parciais:
Agora, substituindo
e
:
Portanto, o gradiente no ponto
é:
Passo 4
Por último, na parte c: encontrar a equação da reta tangente à curva
no ponto
.
Primeiro, sabemos que a reta tangente a uma curva nível em um ponto é perpendicular ao gradiente nesse ponto. A equação da reta na forma geral é:
Onde
é o gradiente e
é o ponto de tangência.
Substituindo
e
:
Simplificando:
Dividindo todos os termos por 3 para simplificar:
Ou, reescrevendo de forma tradicional:
Resposta
a)
b) O gradiente de
em
é
c) A equação da reta tangente à curva
no ponto
é
Exercícios relacionados
(2 pontos) Seja
. Calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor unitário
.
a)
b)
c) 0
d)
e) .
a)
b)
c) 0
d)
e)
(2 pontos) Considere a função
definida implicitamente por
. Calcule
quando
.
a) -5
b) -3
c) -1
d) 1
e) 3 .
a) -5
b) -3
c) -1
d) 1
e) 3 .
(2 pontos) Calcule o valor máximo e o valor mínimo de
sujeito à restrição
.
Calcule, em cada caso, a
e esboce o domínio
.
b) e
e
.
b)