Calcule, em cada caso, a
e esboce o domínio
.
k)
e
o conjunto de todos os
tais que
e
.
k)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla
, onde a função
. O domínio
é definido pelas condições
e
. Vamos usar cálculo integral para encontrar essa área e entender como as regiões se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o domínio
. A condição
representa a região acima da parábola
. Já
significa que
está entre a reta
e a reta
. Então, precisamos encontrar a interseção dessas regiões.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção entre
,
e
. Igualando
, temos
, então
ou
. Para
, temos
. Resolvendo essa equação quadrática:
Portanto, os pontos de interseção são
,
,
e
.
Passo 4
Com esses pontos, vamos determinar os limites de integração. Observando o gráfico, vemos que para
variando de
a
,
varia de
a
. Então, nossos limites de integração serão:
Passo 5
Agora, configuramos a integral dupla:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Passo 7
Agora, substituímos na integral externa:
Vamos integrar termo a termo:
Então, a primitiva é:
Passo 8
Agora, avaliamos essa expressão de
a
:
Para
:
Para
:
Passo 9
Calculamos a diferença:
Resposta
A integral dupla
vale
. Além disso, o domínio
é a região delimitada pelas curvas
,
e
no intervalo de
de
a
.
Exercícios relacionados
Calcule, em cada caso, a
e esboce o domínio
.
h) e
o triângulo de vértices
e
.
h)
Calcule, em cada caso, a
e esboce o domínio
.
b) e
e
.
b)
Calcule, em cada caso, a
e esboce o domínio
.
l) e
.
l)
Calcule, em cada caso, a
e esboce o domínio
.
m) e
.
m)