Calcule, em cada caso, a integral duplaD f(x, y) d x d y e esboce o domínio D.
k) f(x, y)=x e D o conjunto de todos os (x, y) tais que y >= x^2 e x <= y <= x+2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaD f(x, y) , dx , dy, onde a função f(x, y) = x. O domínio D é definido pelas condições y >= x^2 e x <= y <= x + 2. Vamos usar cálculo integral para encontrar essa área e entender como as regiões se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio D. A condição y >= x^2 representa a região acima da parábola y = x^2. Já x <= y <= x + 2 significa que y está entre a reta y = x e a reta y = x + 2. Então, precisamos encontrar a interseção dessas regiões.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção entre y = x^2, y = x e y = x + 2. Igualando x^2 = x, temos x^2 - x = 0 Rightarrow x(x - 1) = 0, então x = 0 ou x = 1. Para y = x^2 = x + 2, temos x^2 - x - 2 = 0. Resolvendo essa equação quadrática:
x = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32 Rightarrow x = 2 ou x = -1
Portanto, os pontos de interseção são (-1, 1), (0, 0), (1, 1) e (2, 4).

Passo 4

Com esses pontos, vamos determinar os limites de integração. Observando o gráfico, vemos que para x variando de -1 a 2, y varia de x^2 a x + 2. Então, nossos limites de integração serão:
-1 <= x <= 2 x^2 <= y <= x + 2

Passo 5

Agora, configuramos a integral dupla:
integral duplaD x , dy , dx = integralx=-1^2 ( integraly=x^2^x+2 x , dy ) dx

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integraly=x^2^x+2 x , dy = x integraly=x^2^x+2 dy = x [ y ]x^2^x+2 = x ( (x + 2) - x^2 ) = x ( -x^2 + x + 2 )

Passo 7

Agora, substituímos na integral externa:
integral-1^2 (-x^3 + x^2 + 2x) , dx
Vamos integrar termo a termo:
integral -x^3 , dx = -x^44 integral x^2 , dx = x^33 integral 2x , dx = x^2
Então, a primitiva é:
-x^44 + x^33 + x^2 + C

Passo 8

Agora, avaliamos essa expressão de x = -1 a x = 2:
Para x = 2:
-(2)^44 + (2)^33 + (2)^2 = -164 + 83 + 4 = -4 + 83 + 4 = 83
Para x = -1:
-(-1)^44 + (-1)^33 + (-1)^2 = -14 + (-13) + 1 = -14 - 13 + 1 = 512

Passo 9

Calculamos a diferença:
83 - 512 = 3212 - 512 = 2712 = 94

Resposta

A integral dupla integral duplaD x , dx , dy vale 94. Além disso, o domínio D é a região delimitada pelas curvas y = x^2, y = x e y = x + 2 no intervalo de x de -1 a 2.

Exercícios relacionados

Calcule, em cada caso, a integral duplaD f(x, y) d x d y e esboce o domínio D.
h) f(x, y)=(cos 2 y) raiz4-sen^2 x e D o triângulo de vértices (0,0),(0, pi2) e (pi2, pi2).
Calcule, em cada caso, a integral duplaD f(x, y) d x d y e esboce o domínio D.
b) f(x, y)=x y e D=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2 <= 2, y <= x e x >= 0.
Calcule, em cada caso, a integral duplaD f(x, y) d x d y e esboce o domínio D.
l) f(x, y)=e^-y^2 e D=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= 1, x <= y <= 1.
Calcule, em cada caso, a integral duplaD f(x, y) d x d y e esboce o domínio D.
m) f(x, y)=sen yy e D=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= 1, x <= y <= 1.