(2 pontos) Calcule o valor máximo e o valor mínimo de x - 3y - 1 sujeito à restrição x^2 + 3y^2 = 36.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar o valor máximo e mínimo da expressão com a restrição . Isso cai na área de otimização com restrições, usando técnicas de geometria analítica e cálculo. Vamos precisar entender como maximizar e minimizar funções sujeitas a determinadas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a restrição para facilitar nosso trabalho. A equação representa uma elipse. Podemos expressar ou em termos da outra variável, mas uma abordagem mais eficiente aqui é usar coeficientes angulares para relacionar e .

Passo 3

Vamos assumir que a função que queremos otimizar, , atinge seus valores extremos na elipse dada. Para isso, utilizamos o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a encontrar máximos e mínimos de funções sujeitas a restrições.

Passo 4

Definimos a função Lagrange:
Agora, derivamos parcialmente em relação a , e e igualamos a zero:

Passo 5

Resolvendo as primeiras duas equações para :
Igualando as duas expressões para :

Passo 6

Substituímos na restrição :
Então, quando e quando .

Passo 7

Agora, calculamos para os pontos encontrados:
  • Para :
  • Para :

Resposta

O valor máximo de é 11 e o valor mínimo é -13.

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