(2 pontos) Calcule o valor máximo e o valor mínimo de
sujeito à restrição
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar o valor máximo e mínimo da expressão
com a restrição
. Isso cai na área de otimização com restrições, usando técnicas de geometria analítica e cálculo. Vamos precisar entender como maximizar e minimizar funções sujeitas a determinadas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a restrição para facilitar nosso trabalho. A equação
representa uma elipse. Podemos expressar
ou
em termos da outra variável, mas uma abordagem mais eficiente aqui é usar coeficientes angulares para relacionar
e
.
Passo 3
Vamos assumir que a função que queremos otimizar,
, atinge seus valores extremos na elipse dada. Para isso, utilizamos o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a encontrar máximos e mínimos de funções sujeitas a restrições.
Passo 4
Definimos a função Lagrange:
Agora, derivamos parcialmente em relação a
,
e
e igualamos a zero:
Passo 5
Resolvendo as primeiras duas equações para
:
Igualando as duas expressões para
:
Passo 6
Substituímos
na restrição
:
Então,
quando
e
quando
.
Passo 7
Agora, calculamos
para os pontos encontrados:
- Para
:
- Para
:
Resposta
O valor máximo de
é 11 e o valor mínimo é -13.