(2 pontos) Calcule o valor máximo e o valor mínimo de x - 3y - 1 sujeito à restrição x^2 + 3y^2 = 36.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar o valor máximo e mínimo da expressão com a restrição . Isso cai na área de otimização com restrições, usando técnicas de geometria analítica e cálculo. Vamos precisar entender como maximizar e minimizar funções sujeitas a determinadas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a restrição para facilitar nosso trabalho. A equação representa uma elipse. Podemos expressar ou em termos da outra variável, mas uma abordagem mais eficiente aqui é usar coeficientes angulares para relacionar e .

Passo 3

Vamos assumir que a função que queremos otimizar, , atinge seus valores extremos na elipse dada. Para isso, utilizamos o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a encontrar máximos e mínimos de funções sujeitas a restrições.

Passo 4

Definimos a função Lagrange:
Agora, derivamos parcialmente em relação a , e e igualamos a zero:

Passo 5

Resolvendo as primeiras duas equações para :
Igualando as duas expressões para :

Passo 6

Substituímos na restrição :
Então, quando e quando .

Passo 7

Agora, calculamos para os pontos encontrados:
  • Para :
  • Para :

Resposta

O valor máximo de é 11 e o valor mínimo é -13.

Exercícios relacionados

(2 pontos) Considere a função f(x, y) = x^3 - y^3. a) verifique que f(2,1) = 7; b) calcule o gradiente de f em (2,1); c) encontre a equação da reta tangente à curva f = 7 no ponto (2,1).
(2 pontos) Seja f(x, y) = sen(x + 2y). Calcule a derivada direcional de f no ponto (0,0) na direção do vetor unitário (1/raiz(2), 1/raiz(2)).
a) -3 / raiz(2)
b) -1 / raiz(2)
c) 0
d) 3 / raiz(2)
e) 5 / raiz(2).
Calcule, em cada caso, a integral duplaD f(x, y) d x d y e esboce o domínio D.
b) f(x, y)=x y e D=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2 <= 2, y <= x e x >= 0.
Calcule, em cada caso, a integral duplaD f(x, y) d x d y e esboce o domínio D.
h) f(x, y)=(cos 2 y) raiz4-sen^2 x e D o triângulo de vértices (0,0),(0, pi2) e (pi2, pi2).