Calcule, em cada caso, a
e esboce o domínio
.
h)
e
o triângulo de vértices
e
.
h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral dupla da função
sobre o domínio
, que é um triângulo com vértices em
,
e
. Vamos precisar usar cálculo integral, especialmente integrais duplas, e entender bem o domínio de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o domínio
. Como é um triângulo com os vértices dados, podemos visualizar assim:
- O ponto
está na origem. - O ponto
está no eixo a uma altura de . - O ponto
está no ponto onde e .
Isso forma um triângulo retângulo onde
varia de
a
e, para cada
,
varia de
até
. Portanto, podemos descrever o domínio
com as seguintes desigualdades:
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla. A integral dupla sobre
de
é dada por:
Aqui, estamos integrando
de
a
e depois
de
a
.
Passo 4
Observamos que a função
não depende de
, então podemos simplificar a integral interna:
Vamos calcular essa integral:
Avaliando de
a
:
Então, a integral interna resulta em zero, o que simplifica todo o cálculo.
Passo 5
No entanto, isso indicaria que toda a integral dupla seria zero, mas isso não parece correto. Vamos verificar os limites de integração novamente. Precisamos considerar que, no triângulo
,
varia de
até
para cada
. Portanto, a integral dupla correta é:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral interna correta:
Então, a integral dupla fica:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que:
Portanto, a integral se torna:
Passo 8
Agora, fazemos uma substituição para facilitar a integração. Seja:
Então:
Substituindo na integral:
Passo 9
Agora, integramos
:
Voltando para
:
Passo 10
Agora, avaliamos de
a
:
Para
:
Para
:
Substituindo na expressão:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule, em cada caso, a
e esboce o domínio
.
b) e
e
.
b)
(2 pontos) Calcule o valor máximo e o valor mínimo de
sujeito à restrição
.
Calcule, em cada caso, a
e esboce o domínio
.
k) e
o conjunto de todos os
tais que
e
.
k)
Calcule, em cada caso, a
e esboce o domínio
.
l) e
.
l)