Calcule, em cada caso, a integral duplaD f(x, y) d x d y e esboce o domínio D.
h) f(x, y)=(cos 2 y) raiz4-sen^2 x e D o triângulo de vértices (0,0),(0, pi2) e (pi2, pi2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral dupla da função sobre o domínio , que é um triângulo com vértices em , e . Vamos precisar usar cálculo integral, especialmente integrais duplas, e entender bem o domínio de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio 0 <= x <= pi2 e 0 <= y <= pi2 . Como é um triângulo com os vértices dados, podemos visualizar assim:
  • O ponto está na origem.
  • O ponto está no eixo a uma altura de .
  • O ponto está no ponto onde e .
Isso forma um triângulo retângulo onde varia de a e, para cada , varia de até . Portanto, podemos descrever o domínio com as seguintes desigualdades:

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. A integral dupla sobre integral duplaD f(x, y) , dx , dy = integral0^pi2 integral0^pi2 cos(2y) raiz4 - sin^2x , dy , dx de é dada por:
Aqui, estamos integrando de a e depois de a .

Passo 4

Observamos que a função integral0^pi2 cos(2y) , dy não depende de integral cos(2y) , dy = 12 sin(2y) + C , então podemos simplificar a integral interna:
[ 12 sin(2 cdot pi2) ] - [ 12 sin(0) ] = 12 sin(pi) - 0 = 0
Vamos calcular essa integral:
Avaliando de a :
Então, a integral interna resulta em zero, o que simplifica todo o cálculo.

Passo 5

No entanto, isso indicaria que toda a integral dupla seria zero, mas isso não parece correto. Vamos verificar os limites de integração novamente. Precisamos considerar que, no triângulo integral duplaD f(x, y) , dx , dy = integral0^pi2 integralx^pi2 cos(2y) raiz4 - sin^2x , dy , dx , varia de até para cada . Portanto, a integral dupla correta é:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral interna correta:
integralx^pi2 cos(2y) , dy = [ 12 sin(2y) ]x^pi2 = 12 sin(pi) - 12 sin(2x) = -12 sin(2x)
Então, a integral dupla fica:
-12 integral0^pi2 sin(2x) raiz4 - sin^2x , dx

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que:
sin(2x) = 2 sin x cos x
Portanto, a integral se torna:
-12 cdot 2 integral0^pi2 sin x cos x raiz4 - sin^2x , dx = -integral0^pi2 sin x cos x raiz4 - sin^2x , dx

Passo 8

Agora, fazemos uma substituição para facilitar a integração. Seja:
u = 4 - sin^2x
Então:
du = -2 sin x cos x , dx Rightarrow -12 du = sin x cos x , dx
Substituindo na integral:
-integral sin x cos x raiz4 - sin^2x , dx = -integral raizu ( -12 du ) = 12 integral raizu , du

Passo 9

Agora, integramos 12 integral u^1/2 , du = 12 cdot 23 u^3/2 + C = 13 u^3/2 + C :
13 (4 - sin^2x)^3/2
Voltando para :

Passo 10

Agora, avaliamos de sin(pi2) = 1 Rightarrow u = 4 - 1 = 3 Rightarrow u^3/2 = 3^3/2 = 3raiz3 a sin(0) = 0 Rightarrow u = 4 - 0 = 4 Rightarrow u^3/2 = 4^3/2 = 8 :
Para 13 (3raiz3 - 8) :
Para :
Substituindo na expressão:

Resposta

raiz3 - 83

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Calcule, em cada caso, a integral duplaD f(x, y) d x d y e esboce o domínio D.
b) f(x, y)=x y e D=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2 <= 2, y <= x e x >= 0.
(2 pontos) Calcule o valor máximo e o valor mínimo de x - 3y - 1 sujeito à restrição x^2 + 3y^2 = 36.
Calcule, em cada caso, a integral duplaD f(x, y) d x d y e esboce o domínio D.
k) f(x, y)=x e D o conjunto de todos os (x, y) tais que y >= x^2 e x <= y <= x+2.
Calcule, em cada caso, a integral duplaD f(x, y) d x d y e esboce o domínio D.
l) f(x, y)=e^-y^2 e D=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= 1, x <= y <= 1.