Calcule, em cada caso, a integral duplaD f(x, y) d x d y e esboce o domínio D.
l) f(x, y)=e^-y^2 e D=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= 1, x <= y <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que você mandou! A gente quer calcular a integral duplaD e^-y^2 , dx , dy, onde o domínio D é definido por 0 <= x <= 1 e x <= y <= 1. Isso significa que estamos lidando com cálculo de integrais múltiplas, especificamente uma integral dupla. Para resolver, vamos precisar entender bem a região D e depois configurar os limites de integração corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no domínio D. A região D é definida por:
  • 0 <= x <= 1: isso significa que o valor de x vai de 0 até 1.
  • x <= y <= 1: para cada valor de x, o valor de y começa em x e vai até 1.
Se imaginar no plano xy, isso forma um triângulo com vértices em (0,0), (1,1) e (0,1). Ou seja, é a área entre a linha y = x e a linha y = 1, para x entre 0 e 1.

Passo 3

Agora que entendemos a região D, vamos configurar a integral dupla. Originalmente, a integral está definida assim:
integral0^1 integralx^1 e^-y^2 , dy , dx
Aqui, para cada x entre 0 e 1, y varia de x a 1.

Passo 4

Observando a função que estamos integrando, f(x, y) = e^-y^2, percebemos que ela só depende de y. Isso é ótimo porque facilita a integração com relação a x, já que não tem x na função.

Passo 5

Com essa observação, vamos trocar a ordem das integrais para facilitar o cálculo. Ao trocar a ordem, a integral fica:
integral0^1 integral0^y e^-y^2 , dx , dy
Agora, para cada y entre 0 e 1, x varia de 0 a y.

Passo 6

Vamos começar integrando com relação a x. Como e^-y^2 não depende de x, a integral interna fica:
integral0^y e^-y^2 , dx = e^-y^2 cdot (y - 0) = y cdot e^-y^2

Passo 7

Agora, nossa integral dupla ficou mais simples:
integral0^1 y cdot e^-y^2 , dy
Essa é uma única integral em relação a y que precisamos resolver.

Passo 8

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja u = y^2, então du = 2y , dy ou seja, y , dy = du2.

Passo 9

Substituindo na integral, temos:
integral0^1 y cdot e^-y^2 , dy = 12 integral0^1 e^-u , du
Agora, estamos lidando com uma integral bem básica que podemos resolver facilmente.

Passo 10

Calculando a integral:
12 integral0^1 e^-u , du = 12 [ -e^-u ]0^1 = 12 ( -e^-1 + e^0 ) = 12 ( 1 - e^-1 )

Resposta

A integral dupla vale dfrac1 - e^-12.

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m) f(x, y)=sen yy e D=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= 1, x <= y <= 1.
Esboce cada um dos sólidos e calcule os seus volumes.
c) 0 <= z <= 9 - x^2 - 3 y^2.