Calcule, em cada caso, a
e esboce o domínio
.
l)
e
.
l)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que você mandou! A gente quer calcular a
, onde o domínio
é definido por
e
. Isso significa que estamos lidando com cálculo de integrais múltiplas, especificamente uma integral dupla. Para resolver, vamos precisar entender bem a região
e depois configurar os limites de integração corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no domínio
. A região
é definida por:
-
: isso significa que o valor de vai de 0 até 1. -
: para cada valor de , o valor de começa em e vai até 1.
Se imaginar no plano
, isso forma um triângulo com vértices em
,
e
. Ou seja, é a área entre a linha
e a linha
, para
entre 0 e 1.
Passo 3
Agora que entendemos a região
, vamos configurar a integral dupla. Originalmente, a integral está definida assim:
Aqui, para cada
entre 0 e 1,
varia de
a 1.
Passo 4
Observando a função que estamos integrando,
, percebemos que ela só depende de
. Isso é ótimo porque facilita a integração com relação a
, já que não tem
na função.
Passo 5
Com essa observação, vamos trocar a ordem das integrais para facilitar o cálculo. Ao trocar a ordem, a integral fica:
Agora, para cada
entre 0 e 1,
varia de 0 a
.
Passo 6
Vamos começar integrando com relação a
. Como
não depende de
, a integral interna fica:
Passo 7
Agora, nossa integral dupla ficou mais simples:
Essa é uma única integral em relação a
que precisamos resolver.
Passo 8
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja
, então
ou seja,
.
Passo 9
Substituindo na integral, temos:
Agora, estamos lidando com uma integral bem básica que podemos resolver facilmente.
Passo 10
Calculando a integral:
Resposta
A integral dupla vale
.
Exercícios relacionados
Calcule, em cada caso, a
e esboce o domínio
.
k) e
o conjunto de todos os
tais que
e
.
k)
Calcule, em cada caso, a
e esboce o domínio
.
h) e
o triângulo de vértices
e
.
h)
Calcule, em cada caso, a
e esboce o domínio
.
m) e
.
m)
Esboce cada um dos sólidos e calcule os seus volumes.
c) .
c)