Calcule, em cada caso, a integral duplaD f(x, y) d x d y e esboce o domínio D.
m) f(x, y)=sen yy e D=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= 1, x <= y <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral dupla da função sobre a região , que é definida por e . Vamos usar conceitos de Cálculo Integral Duplo, especificamente as integrais iteradas e a troca da ordem de integração para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é a região . A região é limitada por indo de 0 a 1 e, para cada , vai de até 1. Isso significa que sempre é maior ou igual a . Se fizermos um esboço, vemos que é a área triangular no primeiro quadrante limitada pela linha , e .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. Originalmente, está organizada como uma integral iterada em integral duplaD sin yy , dx , dy = integralx=0^1 integraly=x^1 sin yy , dy , dx e depois em :
Porém, integrar a função diretamente em relação a pode ser complicado, então vamos tentar trocar a ordem de integração.

Passo 4

Para trocar a ordem de integração, precisamos reescrever os limites. Agora, integral duplaD sin yy , dx , dy = integraly=0^1 integralx=0^y sin yy , dx , dy vai de 0 a 1, e para cada , vai de 0 a . Assim, a integral fica:

Passo 5

Observa que dentro da integral, a função integralx=0^y sin yy , dx = sin yy cdot y = sin y não depende de . Então, a integral interna em é simples:
Isso porque .

Passo 6

Agora, a integral dupla reduz-se a uma integral simples em integraly=0^1 sin y , dy :
integral0^1 sin y , dy = [ -cos y ]0^1 = -cos 1 - (-cos 0) = -cos 1 + 1 = 1 - cos 1
Essa integral é fácil de resolver. A antiderivada de é , então:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Calcule, em cada caso, a integral duplaD f(x, y) d x d y e esboce o domínio D.
l) f(x, y)=e^-y^2 e D=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= 1, x <= y <= 1.
Calcule, em cada caso, a integral duplaD f(x, y) d x d y e esboce o domínio D.
k) f(x, y)=x e D o conjunto de todos os (x, y) tais que y >= x^2 e x <= y <= x+2.
Esboce cada um dos sólidos e calcule os seus volumes.
c) 0 <= z <= 9 - x^2 - 3 y^2.
Utilizando integral dupla calcule a área de cada uma das regiões limitadas pelas curvas:
a) y = x^3 e y = x^2.