Calcule, em cada caso, a
e esboce o domínio
.
m)
e
.
m)
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral dupla da função
sobre a região
, que é definida por
e
. Vamos usar conceitos de Cálculo Integral Duplo, especificamente as integrais iteradas e a troca da ordem de integração para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é a região
. A região é limitada por
indo de 0 a 1 e, para cada
,
vai de
até 1. Isso significa que
sempre é maior ou igual a
. Se fizermos um esboço, vemos que
é a área triangular no primeiro quadrante limitada pela linha
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla. Originalmente, está organizada como uma integral iterada em
e depois em
:
Porém, integrar a função
diretamente em relação a
pode ser complicado, então vamos tentar trocar a ordem de integração.
Passo 4
Para trocar a ordem de integração, precisamos reescrever os limites. Agora,
vai de 0 a 1, e para cada
,
vai de 0 a
. Assim, a integral fica:
Passo 5
Observa que dentro da integral, a função
não depende de
. Então, a integral interna em
é simples:
Isso porque
.
Passo 6
Agora, a integral dupla reduz-se a uma integral simples em
:
Essa integral é fácil de resolver. A antiderivada de
é
, então:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Calcule, em cada caso, a
e esboce o domínio
.
l) e
.
l)
Calcule, em cada caso, a
e esboce o domínio
.
k) e
o conjunto de todos os
tais que
e
.
k)
Esboce cada um dos sólidos e calcule os seus volumes.
c) .
c)
Utilizando integral dupla calcule a área de cada uma das regiões limitadas pelas curvas:
a) e
.
a)