Esboce cada um dos sólidos e calcule os seus volumes.
c) 0 <= z <= 9 - x^2 - 3 y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar um sólido e calcular o volume dele. O sólido é definido pela desigualdade . Vamos precisar usar cálculo de integrais múltiplas para achar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essa desigualdade está nos dizendo. A parte inferior do sólido é o plano e a parte superior é a superfície . Isso forma uma espécie de parábola invertida no eixo z.

Passo 3

Para esboçar o sólido, imagine a superfície : ela é uma elipsoide aberta para baixo. A interseção dessa superfície com o plano acontece quando , ou seja, . Isso é uma elipse no plano xy.

Passo 4

Vamos achar o volume usando uma integral dupla. A fórmula geral é:
onde é a região da elipse .

Passo 5

Para facilitar a integração, vamos mudar pra coordenadas elípticas. Vamos fazer a substituição:
Isso simplifica a equação da elipse para .

Passo 6

Com essa mudança, o elemento de área vira:
Agora, a integral fica:

Passo 7

Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 8

Integrando em relação a :
Agora, a integral fica:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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