Esboce cada um dos sólidos e calcule os seus volumes.
c) 0 <= z <= 9 - x^2 - 3 y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar um sólido e calcular o volume dele. O sólido é definido pela desigualdade . Vamos precisar usar cálculo de integrais múltiplas para achar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essa desigualdade está nos dizendo. A parte inferior do sólido é o plano e a parte superior é a superfície . Isso forma uma espécie de parábola invertida no eixo z.

Passo 3

Para esboçar o sólido, imagine a superfície : ela é uma elipsoide aberta para baixo. A interseção dessa superfície com o plano acontece quando , ou seja, . Isso é uma elipse no plano xy.

Passo 4

Vamos achar o volume usando uma integral dupla. A fórmula geral é:
onde é a região da elipse .

Passo 5

Para facilitar a integração, vamos mudar pra coordenadas elípticas. Vamos fazer a substituição:
Isso simplifica a equação da elipse para .

Passo 6

Com essa mudança, o elemento de área vira:
Agora, a integral fica:

Passo 7

Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 8

Integrando em relação a :
Agora, a integral fica:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Calcule, em cada caso, a integral duplaD f(x, y) d x d y e esboce o domínio D.
m) f(x, y)=sen yy e D=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= 1, x <= y <= 1.
Calcule, em cada caso, a integral duplaD f(x, y) d x d y e esboce o domínio D.
l) f(x, y)=e^-y^2 e D=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= 1, x <= y <= 1.
Utilizando integral dupla calcule a área de cada uma das regiões limitadas pelas curvas:
a) y = x^3 e y = x^2.
Calcule as integrais triplas:
a) integral triplaD x y z d x d y d z onde D=(x, y, z) in R^3 ; 0 <= x <= 2,0 <= y <= 1,0 <= z <= 2