Esboce cada um dos sólidos e calcule os seus volumes.
c)
.
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar um sólido e calcular o volume dele. O sólido é definido pela desigualdade
. Vamos precisar usar cálculo de integrais múltiplas para achar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que essa desigualdade está nos dizendo. A parte inferior do sólido é o plano
e a parte superior é a superfície
. Isso forma uma espécie de parábola invertida no eixo z.
Passo 3
Para esboçar o sólido, imagine a superfície
: ela é uma elipsoide aberta para baixo. A interseção dessa superfície com o plano
acontece quando
, ou seja,
. Isso é uma elipse no plano xy.
Passo 4
Vamos achar o volume usando uma integral dupla. A fórmula geral é:
onde
é a região da elipse
.
Passo 5
Para facilitar a integração, vamos mudar pra coordenadas elípticas. Vamos fazer a substituição:
Isso simplifica a equação da elipse para
.
Passo 6
Com essa mudança, o elemento de área
vira:
Agora, a integral fica:
Passo 7
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Integrando em relação a
:
Agora, a integral fica:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule, em cada caso, a
e esboce o domínio
.
m) e
.
m)
Calcule, em cada caso, a
e esboce o domínio
.
l) e
.
l)
Utilizando integral dupla calcule a área de cada uma das regiões limitadas pelas curvas:
a) e
.
a)
Calcule as integrais triplas:
a) onde
a)