Utilizando integral dupla calcule a área de cada uma das regiões limitadas pelas curvas:
a) e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular a área das regiões limitadas pelas curvas e usando integrais duplas. Para isso, vamos precisar determinar onde essas duas curvas se intersectam e qual delas está acima da outra nesse intervalo.
Passo 2
Vamos encontrar os pontos de interseção das curvas e . Igualando as duas equações:
Subtraindo de ambos os lados:
Isso nos dá duas soluções: e . Portanto, as curvas se intersectam nos pontos e .
Passo 3
Agora, precisamos saber qual das duas curvas está acima da outra no intervalo de a . Vamos avaliar um valor dentro desse intervalo, por exemplo, :
Como , a curva está acima de nesse intervalo.
Passo 4
Com as interseções e a posição das curvas identificadas, podemos definir os limites de integração para a integral dupla. Vamos integrar de a . Para cada valor de , varia de até .
A integral para a área será:
Passo 5
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a :
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Integrando termo a termo:
Passo 7
Avaliar as integrais nos limites de a :
Resposta
A área da região limitada pelas curvas e é igual a unidades de área.