Utilizando integral dupla calcule a área de cada uma das regiões limitadas pelas curvas:
a) y = x^3 e y = x^2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular a área das regiões limitadas pelas curvas e usando integrais duplas. Para isso, vamos precisar determinar onde essas duas curvas se intersectam e qual delas está acima da outra nesse intervalo.

Passo 2

Vamos encontrar os pontos de interseção das curvas e . Igualando as duas equações:
Subtraindo de ambos os lados:
Isso nos dá duas soluções: e . Portanto, as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 3

Agora, precisamos saber qual das duas curvas está acima da outra no intervalo de a . Vamos avaliar um valor dentro desse intervalo, por exemplo, :
Como , a curva está acima de nesse intervalo.

Passo 4

Com as interseções e a posição das curvas identificadas, podemos definir os limites de integração para a integral dupla. Vamos integrar de a . Para cada valor de , varia de até .
A integral para a área será:

Passo 5

Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a :

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Integrando termo a termo:

Passo 7

Avaliar as integrais nos limites de a :

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e é igual a unidades de área.

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Esboce cada um dos sólidos e calcule os seus volumes.
c) 0 <= z <= 9 - x^2 - 3 y^2.
Calcule, em cada caso, a integral duplaD f(x, y) d x d y e esboce o domínio D.
m) f(x, y)=sen yy e D=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= 1, x <= y <= 1.
Calcule as integrais triplas:
a) integral triplaD x y z d x d y d z onde D=(x, y, z) in R^3 ; 0 <= x <= 2,0 <= y <= 1,0 <= z <= 2
Utilizando integral dupla calcule a área de cada uma das regiões limitadas pelas curvas:
h) x^2 = a y, x^2 = b y, y^2 = alfa x, y^2 = beta x (0 < a <)
b, 0 < alpha < beta )