Calcule cada um dos determinantes a seguir, com o auxílio das propriedades, explicitando a propriedade utilizada:
c) [ccca x & 2 a & a^2 x & 4 & 1 3 x & 6 & 2]

Passo 1

Vamos resolver o determinante da seguinte matriz 3x3:
a x & 2 a & a^2 x & 4 & 1 3 x & 6 & 2
Estamos trabalhando com determinantes, que são valores que podemos calcular a partir de matrizes quadradas e que têm várias propriedades úteis, como a simplificação usando operações de linha. Para resolver, vamos usar propriedades de determinantes para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, observe que na terceira linha, todos os elementos são múltiplos de 3 na primeira coluna. Isso sugere que podemos simplificar a matriz usando operações de linha. Vamos subtrair 3 vezes a segunda linha da terceira linha para zerar o primeiro elemento da terceira linha.
Linha 3 = Linha 3 - 3 times Linha 2
Aplicando essa operação:

[
a x & 2 a & a^2 x & 4 & 1 3 x - 3x & 6 - 12 & 2 - 3 = a x & 2 a & a^2 x & 4 & 1 0 & -6 & -1


]

Passo 3

Agora, a matriz ficou mais simples. Vamos calcular o determinante usando a Regra de Sarrus ou a regra de expansão por co-fatores. Vou usar a primeira linha para expandir:
det(A) = a x cdot det4 & 1 -6 & -1 - 2 a cdot detx & 1 0 & -1 + a^2 cdot detx & 4 0 & -6

Passo 4

Vamos calcular cada um desses determinantes menores:
  1. 4 & 1 -6 & -1
  2. x & 1 0 & -1
  3. x & 4 0 & -6

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão do determinante:
det(A) = a x cdot 2 - 2 a cdot (-x) + a^2 cdot (-6x)
det(A) = 2 a x + 2 a x - 6 a^2 x

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão:
2 a x + 2 a x = 4 a x
det(A) = 4 a x - 6 a^2 x
Podemos fatorar det(A) = 2 a x (2 - 3 a) :

Resposta

det(A) = 2 a x (2 - 3 a)

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