Encontre valores para m e n, sabendo que os vetores u e v são LI e satisfazem a igualdade (m-1) u+n v=n u-(m+n) v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar os valores de m e n. A gente tem dois vetores, u e v, que são linearmente independentes (ou seja, nenhum deles é múltiplo do outro). A equação que a gente tem é:
(m-1)u + nv = nu - (m+n)v
Pra resolver isso, vamos igualar os coeficientes dos vetores u e v, porque como eles são lineares independentes, os coeficientes têm que ser iguais de cada lado da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos distribuir os termos na equação:
(m - 1)u + nv = nu - (m + n)v
Podemos reescrever isso como:
(m - 1)u + nv = nu - mv - nv

Passo 3

Agora, vamos trazer todos os termos com u para um lado e os termos com v para o outro lado:
(m - 1)u - nu = -mv - nv - nv
Simplificando os coeficientes:
(m - 1 - n)u = (-m - 2n)v

Passo 4

Como u e v são linearmente independentes, os coeficientes de u e v devem ser iguais a zero para que a equação seja verdadeira:
m - 1 - n = 0 e -m - 2n = 0

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Primeira equação:
m - 1 - n = 0 Rightarrow m - n = 1 (Equação 1) çã
  1. Segunda equação:
-m - 2n = 0 Rightarrow m = -2n (Equação 2) çã

Passo 6

Substituindo a Equação 2 na Equação 1:
(-2n) - n = 1 Rightarrow -3n = 1
Resolvendo para n:
n = -13

Passo 7

Agora, usando o valor de n na Equação 2 para encontrar m:
m = -2(-13) = 23

Resposta

Os valores são m = e n = .

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