Sejam os vetores
,
e
. Prove que: Os vetores
e
são LI se, e somente se, os vetores
e
são LI.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que os vetores
e
são linearmente independentes (LI) se, e somente se, os vetores
e
também forem linearmente independentes.
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente o conceito de independência linear de vetores.
O que precisamos: Entender o que significa os vetores serem linearmente independentes e usar propriedades de combinações lineares para provar a equivalência.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa linearmente independentes. Dois vetores
e
são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que os coeficientes são zero, ou seja:
Se existir uma combinação diferente de zero que dá zero, então os vetores são linearmente dependentes.
Passo 3
Agora, vamos analisar os vetores transformados
e
. Queremos provar que
e
são LI se e somente se
e
são LI.
Isso significa que precisamos provar duas coisas:
- Se
e são LI, então e são LI. - Se
e são LI, então e são LI.
Passo 4
Primeira parte: Suponha que
e
são LI. Queremos mostrar que
e
também são LI.
Vamos considerar uma combinação linear que resulta no vetor zero:
Substituindo
e
:
Distribuindo os coeficientes:
Agrupando termos semelhantes:
Como
e
são LI, os coeficientes devem ser zero:
Resolvendo o sistema:
Adicionar as duas equações:
Substituir
na primeira equação:
Como as únicas soluções são
e
, isso mostra que
e
são LI.
Passo 5
Segunda parte: Agora, suponha que
e
são LI. Queremos provar que
e
também são LI.
Vamos supor uma combinação linear que dá zero:
Precisamos provar que
e
.
Vamos expressar
e
em termos de
e
:
Somando
e
:
Portanto:
Subtraindo
de
:
Portanto:
Agora, substituímos essas expressões na combinação original:
Multiplicando os coeficientes:
Agrupando termos:
Simplificando:
Como
e
são LI, os coeficientes devem ser zero:
Multiplicando por 2:
Resolvendo o sistema:
Adicionar as duas equações:
Substituir
na primeira equação:
Portanto,
e
, mostrando que
e
são LI.
Resposta
Concluímos que os vetores
e
são linearmente independentes se, e somente se, os vetores
e
também forem linearmente independentes.
Exercícios relacionados
Em cada parte, determine se o terno ordenado dado é uma solução do sistema linear
(d)
Dados os vetores
e
quaiquer, prove que os vetores
,
e
são LD.
Em cada parte, determine se as equações formam um sistema linear.
(a)
(b)
(a)
(b)