Sejam os vetores , e . Prove que: Os vetores e são LI se, e somente se, os vetores e são LI.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que os vetores e são linearmente independentes (LI) se, e somente se, os vetores e também forem linearmente independentes.
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente o conceito de independência linear de vetores.
O que precisamos: Entender o que significa os vetores serem linearmente independentes e usar propriedades de combinações lineares para provar a equivalência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa linearmente independentes. Dois vetores e são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que os coeficientes são zero, ou seja:
Se existir uma combinação diferente de zero que dá zero, então os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Agora, vamos analisar os vetores transformados e . Queremos provar que e são LI se e somente se e são LI.
Isso significa que precisamos provar duas coisas:
  1. Se e são LI, então e são LI.
  2. Se e são LI, então e são LI.

Passo 4

Primeira parte: Suponha que e são LI. Queremos mostrar que e também são LI.
Vamos considerar uma combinação linear que resulta no vetor zero:
Substituindo e :
Distribuindo os coeficientes:
Agrupando termos semelhantes:
Como e são LI, os coeficientes devem ser zero:
Resolvendo o sistema:
Adicionar as duas equações:
Substituir na primeira equação:
Como as únicas soluções são e , isso mostra que e são LI.

Passo 5

Segunda parte: Agora, suponha que e são LI. Queremos provar que e também são LI.
Vamos supor uma combinação linear que dá zero:
Precisamos provar que e .
Vamos expressar e em termos de e :
Somando e :
Portanto:
Subtraindo de :
Portanto:
Agora, substituímos essas expressões na combinação original:
Multiplicando os coeficientes:
Agrupando termos:
Simplificando:
Como e são LI, os coeficientes devem ser zero:
Multiplicando por 2:
Resolvendo o sistema:
Adicionar as duas equações:
Substituir na primeira equação:
Portanto, e , mostrando que e são LI.

Resposta

Concluímos que os vetores e são linearmente independentes se, e somente se, os vetores e também forem linearmente independentes.

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(d)
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(a)
(b)