Sejam os vetores u, v e w. Prove que: Os vetores u e v são LI se, e somente se, os vetores u1=u+v e u2=u-v são LI.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que os vetores u e v são linearmente independentes (LI) se, e somente se, os vetores u1 = u + v e u2 = u - v também forem linearmente independentes.
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente o conceito de independência linear de vetores.
O que precisamos: Entender o que significa os vetores serem linearmente independentes e usar propriedades de combinações lineares para provar a equivalência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa linearmente independentes. Dois vetores u e v são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que os coeficientes são zero, ou seja:
au + bv = 0 implies a = 0 e b = 0
Se existir uma combinação diferente de zero que dá zero, então os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Agora, vamos analisar os vetores transformados u1 = u + v e u2 = u - v. Queremos provar que u e v são LI se e somente se u1 e u2 são LI.
Isso significa que precisamos provar duas coisas:
  1. Se u e v são LI, então u1 e u2 são LI.
  2. Se u1 e u2 são LI, então u e v são LI.

Passo 4

Primeira parte: Suponha que u e v são LI. Queremos mostrar que u1 e u2 também são LI.
Vamos considerar uma combinação linear que resulta no vetor zero:
c1 u1 + c2 u2 = 0
Substituindo u1 e u2:
c1 (u + v) + c2 (u - v) = 0
Distribuindo os coeficientes:
c1 u + c1 v + c2 u - c2 v = 0
Agrupando termos semelhantes:
(c1 + c2) u + (c1 - c2) v = 0
Como u e v são LI, os coeficientes devem ser zero:
c1 + c2 = 0 e c1 - c2 = 0
Resolvendo o sistema:
Adicionar as duas equações:
2c1 = 0 implies c1 = 0
Substituir c1 na primeira equação:
0 + c2 = 0 implies c2 = 0
Como as únicas soluções são c1 = 0 e c2 = 0, isso mostra que u1 e u2 são LI.

Passo 5

Segunda parte: Agora, suponha que u1 e u2 são LI. Queremos provar que u e v também são LI.
Vamos supor uma combinação linear que dá zero:
au + bv = 0
Precisamos provar que a = 0 e b = 0.
Vamos expressar u e v em termos de u1 e u2:
Somando u1 e u2:
u1 + u2 = (u + v) + (u - v) = 2u
Portanto:
u = 12 (u1 + u2)
Subtraindo u2 de u1:
u1 - u2 = (u + v) - (u - v) = 2v
Portanto:
v = 12 (u1 - u2)
Agora, substituímos essas expressões na combinação original:
a(12 (u1 + u2)) + b(12 (u1 - u2)) = 0
Multiplicando os coeficientes:
a2 u1 + a2 u2 + b2 u1 - b2 u2 = 0
Agrupando termos:
( a2 + b2 ) u1 + ( a2 - b2 ) u2 = 0
Simplificando:
a + b2 u1 + a - b2 u2 = 0
Como u1 e u2 são LI, os coeficientes devem ser zero:
a + b2 = 0 e a - b2 = 0
Multiplicando por 2:
a + b = 0 e a - b = 0
Resolvendo o sistema:
Adicionar as duas equações:
2a = 0 implies a = 0
Substituir a na primeira equação:
0 + b = 0 implies b = 0
Portanto, a = 0 e b = 0, mostrando que u e v são LI.

Resposta

Concluímos que os vetores u e v são linearmente independentes se, e somente se, os vetores u1 = u + v e u2 = u - v também forem linearmente independentes.

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