Calcule
, para cada uma das funções a seguir
D)
D)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada de
em relação a
. Para isso, vamos usar as regras de derivação, especialmente a regra da cadeia, que é super útil quando temos funções dentro de funções, como aqui com o logaritmo e o cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que estão dentro dessa composição. Temos o logaritmo natural
aplicado à função cosseno
, que por sua vez está recebendo como argumento
. Ou seja, é uma função composta:
, onde
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia. Essa regra nos diz que, para derivar uma função composta, derivamos a função de fora multiplicada pela derivada da função de dentro. Matemáticamente, se
, então:
Passo 4
Vamos derivar a parte externa primeiro:
. A derivada do logaritmo natural
em relação a
é
. Então, aplicando isso:
Passo 5
Agora, precisamos derivar
em relação a
. Sabemos que a derivada do cosseno é o menos seno:
Então, substituindo de volta:
Passo 6
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 7
Finalmente, juntando tudo usando a regra da cadeia:
Resposta
A derivada é:
Exercícios relacionados
Encontre a equação da reta tangente e da reta normal a cada uma das curvas indicadas nos respectivos pontos dados.
C) quando
C)
Calcule
, para cada uma das funções a seguir
I)
I)
Calcule
, para cada uma das funções a seguir
F)
F)
Encontre a inclinação da reta tangente a cada uma das curvas indicadas nos pontos dados.
A) , quando
A)