Calcule d/y d/x, para cada uma das funções a seguir
D) y = ln(cos(x^2 + 8x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada de em relação a . Para isso, vamos usar as regras de derivação, especialmente a regra da cadeia, que é super útil quando temos funções dentro de funções, como aqui com o logaritmo e o cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que estão dentro dessa composição. Temos o logaritmo natural aplicado à função cosseno , que por sua vez está recebendo como argumento . Ou seja, é uma função composta: , onde .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia. Essa regra nos diz que, para derivar uma função composta, derivamos a função de fora multiplicada pela derivada da função de dentro. Matemáticamente, se , então:

Passo 4

Vamos derivar a parte externa primeiro: . A derivada do logaritmo natural em relação a é . Então, aplicando isso:

Passo 5

Agora, precisamos derivar em relação a . Sabemos que a derivada do cosseno é o menos seno:
Então, substituindo de volta:

Passo 6

Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 7

Finalmente, juntando tudo usando a regra da cadeia:

Resposta

A derivada é:

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