Encontre a equação da reta tangente e da reta normal a cada uma das curvas indicadas nos respectivos pontos dados.
C) y = x^2 + 2x quando x = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrarmos a equação da reta tangente e da reta normal à curva no ponto onde .
Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangentes e normais em pontos específicos de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto na curva quando . Substituindo na equação:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de para determinar a inclinação da reta tangente nesse ponto. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, a inclinação da curva.
A derivada de em relação a é:

Passo 4

Substituindo na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente:
Então, a inclinação da reta tangente é 4.

Passo 5

Com a inclinação da reta tangente e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Onde é a inclinação e é o ponto dado.
Substituindo:
Simplificando:

Passo 6

A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da reta tangente. Então:

Passo 7

Usando novamente a fórmula da reta com e o ponto :
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é e a equação da reta normal é .

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F) x + y + 2 = 0