Encontre a equação da reta tangente e da reta normal a cada uma das curvas indicadas nos respectivos pontos dados.
C) quando
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrarmos a equação da reta tangente e da reta normal à curva no ponto onde .
Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangentes e normais em pontos específicos de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto na curva quando . Substituindo na equação:
Então, o ponto de tangência é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de para determinar a inclinação da reta tangente nesse ponto. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, a inclinação da curva.
A derivada de em relação a é:
Passo 4
Substituindo na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente:
Então, a inclinação da reta tangente é 4.
Passo 5
Com a inclinação da reta tangente e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Onde é a inclinação e é o ponto dado.
Substituindo:
Simplificando:
Passo 6
A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da reta tangente. Então:
Passo 7
Usando novamente a fórmula da reta com e o ponto :
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto é e a equação da reta normal é .