Calcule cada uma das integrais abaixo. integral x e^x / 2 d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de em relação a . Esse problema é da matéria de Cálculo, especificamente sobre integração por partes, que é uma técnica usada para integrar produtos de funções. Para resolver isso, vamos precisar identificar quais partes da expressão vão ser e na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Nossa meta é escolher e de forma que a integral seja mais simples depois da aplicação dessa fórmula.

Passo 3

Vamos escolher:
u = x e dv = e^x/2 dx
Agora, precisamos calcular du = dx (derivando (u)) e v = integral e^x/2 dx = 2 e^x/2 (usando substituição) :
Para encontrar , integramos :
çã

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x e^x/2 dx = uv - integral v , du = x cdot 2 e^x/2 - integral 2 e^x/2 dx
Simplificando:
= 2x e^x/2 - 2 integral e^x/2 dx

Passo 5

Agora, vamos integrar integral e^x/2 dx = 2 e^x/2 + C novamente:
2x e^x/2 - 2 cdot 2 e^x/2 = 2x e^x/2 - 4 e^x/2
Substituindo de volta:

Resposta

A integral de 2x e^x/2 - 4 e^x/2 + C em relação a é:

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