(a) Se
, encontre
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um limite envolvendo uma função
quando
se aproxima de 1. A questão nos dá que:
E queremos descobrir:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e entender como essa relação funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dada:
Essa forma se assemelha à definição da derivada de uma função no ponto
, mas mesmo que não estejamos lidando diretamente com derivadas aqui, podemos usar a ideia de comportamento próximo ao ponto de interesse.
Passo 3
Rearranjando a expressão do limite, temos:
Isso significa que, para
próximo de 1 (mas diferente de 1), a diferença
está se comportando aproximadamente como
.
Passo 4
Portanto, podemos escrever:
Agora, somando 3 em ambos os lados para isolar
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1:
Substituindo
: