(a) Se lim x 1 f(x)-3x-1=5, encontre lim x 1 f(x).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um limite envolvendo uma função limx 1 f(x) - 3x - 1 = 5 quando limx 1 f(x) se aproxima de 1. A questão nos dá que:
E queremos descobrir:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e entender como essa relação funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dada:
limx 1 f(x) - 3x - 1 = 5
Essa forma se assemelha à definição da derivada de uma função no ponto , mas mesmo que não estejamos lidando diretamente com derivadas aqui, podemos usar a ideia de comportamento próximo ao ponto de interesse.

Passo 3

Rearranjando a expressão do limite, temos:
f(x) - 3x - 1 5 quando x 1
Isso significa que, para próximo de 1 (mas diferente de 1), a diferença está se comportando aproximadamente como .

Passo 4

Portanto, podemos escrever:
f(x) - 3 approx 5(x - 1) quando x 1
Agora, somando 3 em ambos os lados para isolar f(x) approx 3 + 5(x - 1) :

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de limx 1 f(x) = limx 1 [3 + 5(x - 1)] quando 3 + 5(1 - 1) = 3 + 0 = 3 se aproxima de 1:
Substituindo :

Resposta

limx 1 f(x) = 3

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