Passe para coordenadas polares e calcule integral duplaB x d x d y onde B é a região, no plano x y, limitada pela curva (dada em coordenadas polares) rho=cos 3 theta,-pi6 <= theta <= pi6.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem que calcular uma integral dupla, integral duplaB x , dx , dy, onde a região B está definida pela curva em coordenadas polares rho = cos(3theta), com theta entre -pi6 e pi6. Vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração. Então, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para polares e como expressar a integral dupla nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas (x, y) para polares (rho, theta). As relações são:
x = rho costheta e y = rho sintheta
Além disso, o elemento de área dx , dy em coordenadas polares se transforma em:
dx , dy = rho , drho , dtheta

Passo 3

Como vamos mudar a integral para coordenadas polares, vamos substituir x por rho costheta e dx , dy por rho , drho , dtheta. Assim, a integral fica:
integral duplaB x , dx , dy = integraltheta=-pi6^pi6 integralrho=0^cos(3theta) (rho costheta) cdot rho , drho , dtheta
Simplificando, temos:
integral-pi6^pi6 integral0^cos(3theta) rho^2 costheta , drho , dtheta

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a rho. A integral de rho^2 é:
integral0^cos(3theta) rho^2 , drho = [ rho^33 ]0^cos(3theta) = (cos(3theta))^33
Portanto, a integral fica:
integral-pi6^pi6 costheta cdot (cos(3theta))^33 , dtheta = 13 integral-pi6^pi6 costheta cdot (cos(3theta))^3 , dtheta

Passo 5

Para simplificar a integral, vamos usar uma identidade trigonométrica para elevar cos(3theta) ao cubo:
(cos(3theta))^3 = 3cos(3theta) + cos(9theta)4
Substituindo na integral:
13 integral-pi6^pi6 costheta cdot ( 3cos(3theta) + cos(9theta)4 ) dtheta = 112 integral-pi6^pi6 ( 3costheta cos(3theta) + costheta cos(9theta) ) dtheta

Passo 6

Vamos agora integrar termo a termo. Primeiro, para 3costheta cos(3theta), usamos a fórmula do produto de cossenos:
cos A cos B = cos(A+B) + cos(A-B)2
Aplicando:
3costheta cos(3theta) = 32 [cos(4theta) + cos(-2theta)] = 32 [cos(4theta) + cos(2theta)]
Para costheta cos(9theta):
costheta cos(9theta) = cos(10theta) + cos(-8theta)2 = cos(10theta) + cos(8theta)2

Passo 7

Substituindo de volta na integral:
112 [ 32 integral-pi6^pi6 (cos(4theta) + cos(2theta)) dtheta + 12 integral-pi6^pi6 (cos(10theta) + cos(8theta)) dtheta ]
Isso simplifica para:
18 [ integral-pi6^pi6 cos(4theta) dtheta + integral-pi6^pi6 cos(2theta) dtheta ] + 124 [ integral-pi6^pi6 cos(10theta) dtheta + integral-pi6^pi6 cos(8theta) dtheta ]

Passo 8

Vamos integrar cada termo:
integral cos(ktheta) dtheta = sin(ktheta)k
Aplicando isso:
18 [ sin(4theta)4 + sin(2theta)2 ]-pi6^pi6 + 124 [ sin(10theta)10 + sin(8theta)8 ]-pi6^pi6

Passo 9

Calculando os limites:
Para theta = pi6:
sin(4pi6) = sin(2pi3) = raiz32, sin(2pi6) = sin(pi3) = raiz32
sin(10pi6) = sin(5pi3) = -raiz32, sin(8pi6) = sin(4pi3) = -raiz32
Para theta = -pi6, os valores de seno serão os negativos correspondentes.

Passo 10

Substituindo os valores:
18 [ raiz32 - (-raiz32)4 + raiz32 - (-raiz32)2 ] + 124 [ -raiz32 - (raiz32)10 + -raiz32 - (raiz32)8 ]
Simplificando:
18 [ raiz34 + raiz32 ] + 124 [ -raiz310 + -raiz38 ]

Passo 11

Calculando as frações:
18 ( raiz34 + 2raiz34 ) = 18 cdot 3raiz34 = 3raiz332
124 ( -raiz310 + -raiz38 ) = 124 cdot ( -9raiz340 ) = -9raiz3960 = -3raiz3320

Passo 12

Somando os dois resultados:
3raiz332 - 3raiz3320 = 30raiz3 - 3raiz3320 = 27raiz3320

Resposta

A integral dupla vale 27raiz3320.

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