Passe para coordenadas polares e calcule
onde
é a região, no plano
, limitada pela curva (dada em coordenadas polares)
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem que calcular uma integral dupla,
, onde a região
está definida pela curva em coordenadas polares
, com
entre
e
. Vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração. Então, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para polares e como expressar a integral dupla nesse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas
para polares
. As relações são:
Além disso, o elemento de área
em coordenadas polares se transforma em:
Passo 3
Como vamos mudar a integral para coordenadas polares, vamos substituir
por
e
por
. Assim, a integral fica:
Simplificando, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a
. A integral de
é:
Portanto, a integral fica:
Passo 5
Para simplificar a integral, vamos usar uma identidade trigonométrica para elevar
ao cubo:
Substituindo na integral:
Passo 6
Vamos agora integrar termo a termo. Primeiro, para
, usamos a fórmula do produto de cossenos:
Aplicando:
Para
:
Passo 7
Substituindo de volta na integral:
Isso simplifica para:
Passo 8
Vamos integrar cada termo:
Aplicando isso:
Passo 9
Calculando os limites:
Para
:
Para
, os valores de seno serão os negativos correspondentes.
Passo 10
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 11
Calculando as frações:
Passo 12
Somando os dois resultados:
Resposta
A integral dupla vale
.