Passe para coordenadas polares e calcule integral0^a[integral0^raiza^2-x^2 raiza^2-x^2-y^2 d y] d x (a>0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla. O enunciado pede para a gente mudar para coordenadas polares e calcular . Isso pertence ao conteúdo de cálculo multivariável, especificamente integração em coordenadas polares. Vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para polares e saber manipular integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral interna é de até , e a externa é de até . Isso descreve um quarto de círculo no primeiro quadrante com raio .

Passo 3

Agora, vamos converter para coordenadas polares. Lembrando que e , e o elemento de área vira . Além disso, a função dentro da integral se transforma em .

Passo 4

Em coordenadas polares, os limites para integral0^pi2 integral0^a raiza^2-r^2 cdot r , dr , dtheta vão de 0 a , e para de 0 a , já que estamos no primeiro quadrante. Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^a r raiza^2-r^2 , dr :
-12 integrala^2^0 raizu , du = 12 integral0^a^2 u^1/2 , du = 12 cdot 23 u^3/2 g|0^a^2 = 13 a^3
Fazendo uma substituição , temos , ou seja, . Portanto, a integral vira:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^pi2 a^33 , dtheta = a^33 cdot theta g|0^pi2 = a^33 cdot pi2 = pi a^36

Resposta

O valor da integral é .

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