Beleza, vamos resolver essa integral dupla. O enunciado pede para a gente mudar para coordenadas polares e calcular . Isso pertence ao conteúdo de cálculo multivariável, especificamente integração em coordenadas polares. Vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para polares e saber manipular integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral interna é de até , e a externa é de até . Isso descreve um quarto de círculo no primeiro quadrante com raio .
Passo 3
Agora, vamos converter para coordenadas polares. Lembrando que e , e o elemento de área vira . Além disso, a função dentro da integral se transforma em .
Passo 4
Em coordenadas polares, os limites para vão de 0 a , e para de 0 a , já que estamos no primeiro quadrante. Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazendo uma substituição , temos , ou seja, . Portanto, a integral vira:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa: