Passe para coordenadas polares e calcule integral duplaB d x d y onde B é a região, no plano x y, limitada pela curva (em coordenadas polares) rho=cos 2 theta,-pi8 <= theta <= pi4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla integral duplaB dx , dy onde a região B é delimitada pela curva em coordenadas polares rho = cos 2theta e o intervalo de theta vai de -pi8 até pi4. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo em Coordenadas Polares, especialmente como converter integrais duplas do sistema cartesiano para o polar. Precisamos entender as fórmulas de conversão e os limites de integração no sistema polar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, a área integral integral duplaB dx , dy pode ser escrita como integral duplaB rho , drho , dtheta. Isso porque a área de um pequeno pedaço no plano é dada por rho , drho , dtheta em coordenadas polares. Então, nossa integral fica:
integral duplaB dx , dy = integraltheta = -pi8^pi4 integralrho = 0^cos 2theta rho , drho , dtheta

Passo 3

Vamos resolver a parte interna da integral primeiro, que é a integral em relação a rho. Integrando rho de 0 até cos 2theta:
integral0^cos 2theta rho , drho = [ rho^22 ]0^cos 2theta = (cos 2theta)^22

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral-pi8^pi4 (cos 2theta)^22 , dtheta = 12 integral-pi8^pi4 (cos 2theta)^2 , dtheta

Passo 5

Para facilitar a integração de (cos 2theta)^2, usamos a identidade trigonométrica:
cos^2 x = 1 + cos 2x2
Aplicando isso com x = 2theta:
(cos 2theta)^2 = 1 + cos 4theta2
Então, a integral fica:
12 integral-pi8^pi4 1 + cos 4theta2 , dtheta = 14 integral-pi8^pi4 (1 + cos 4theta) , dtheta

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
14 [ integral-pi8^pi4 1 , dtheta + integral-pi8^pi4 cos 4theta , dtheta ]
A primeira integral é simples:
integral-pi8^pi4 1 , dtheta = pi4 - (-pi8) = 3pi8
Para a segunda integral, usamos que integral cos ktheta , dtheta = sin kthetak:
integral-pi8^pi4 cos 4theta , dtheta = [ sin 4theta4 ]-pi8^pi4 = sin(pi)4 - sin(-pi2)4 = 0 - (-14) = 14

Passo 7

Agora, juntando os resultados:
14 ( 3pi8 + 14 ) = 3pi32 + 116 = 3pi + 232

Resposta

A integral dupla integral duplaB dx , dy vale 3pi + 232.

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