Passe para coordenadas polares e calcule
onde
é a região, no plano
, limitada pela curva (em coordenadas polares)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla
onde a região
é delimitada pela curva em coordenadas polares
e o intervalo de
vai de
até
. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo em Coordenadas Polares, especialmente como converter integrais duplas do sistema cartesiano para o polar. Precisamos entender as fórmulas de conversão e os limites de integração no sistema polar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, a área integral
pode ser escrita como
. Isso porque a área de um pequeno pedaço no plano é dada por
em coordenadas polares. Então, nossa integral fica:
Passo 3
Vamos resolver a parte interna da integral primeiro, que é a integral em relação a
. Integrando
de
até
:
Passo 4
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Passo 5
Para facilitar a integração de
, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso com
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
A primeira integral é simples:
Para a segunda integral, usamos que
:
Passo 7
Agora, juntando os resultados:
Resposta
A integral dupla
vale
.