Calcule cada uma das integrais abaixo. integral x sec ^2(2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x sec^2(2x) , dx. Essa questão é de cálculo integral, especificamente de integração por partes. Para resolver, a gente vai precisar entender como aplicar a técnica de integração por partes, que é útil quando a integral é o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, a ideia é escolher quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

No nosso caso, temos e . Agora, precisamos encontrar e .

Passo 4

Calculando du = dx :
v = integral sec^2(2x) , dx
Calculando v = tan(2x)2 , que é a integral de :
A integral de é , então:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral x sec^2(2x) , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= x cdot tan(2x)2 - integral tan(2x)2 cdot dx
Simplificando:
= x tan(2x)2 - 12 integral tan(2x) , dx

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral integral tan(ax) , dx = -ln|cos(ax)|a + C . Sabemos que:
integral tan(2x) , dx = -ln|cos(2x)|2 + C
Aplicando isso:

Passo 7

Voltando à nossa expressão anterior:
x tan(2x)2 - 12 ( -ln|cos(2x)|2 ) + C
Simplificando:
= x tan(2x)2 + ln|cos(2x)|4 + C

Resposta

Portanto, a integral é:
integral x sec^2(2x) , dx = x tan(2x)2 + ln|cos(2x)|4 + C

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