, onde
é o triânguio
e
. Vol
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume definido pela integral dupla
, onde a região
é um triângulo definido pelas condições
,
e
. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
onde vamos integrar. A desigualdade
junto com
e
define um triângulo no primeiro quadrante do plano cartesiano. Esse triângulo tem vértices em
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos configurar os limites de integração para a integral dupla. Podemos escolher integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
, ou vice-versa. Aqui, vamos integrar primeiro em
.
Para um valor fixo de
, o valor de
varia de
até
. E
varia de
até
. Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, que é com relação a
:
Integrando termo a termo:
- A integral de
em relação a é . - A integral de
é . - A integral de
é .
Então, a integral interna se torna:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão obtida:
Simplificando termos semelhantes:
Passo 6
Agora, substituímos essa expressão na integral externa e resolvemos em relação a
:
Integrando termo a termo:
- A integral de
em relação a é . - A integral de
é . - A integral de
é .
Então, temos:
Resposta
O volume é
.