vol=integral duplaA[1-x-y] d x d y, onde A é o triânguio x+y <= 1, x >= 0 e y >= 0. Vol =16

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume definido pela integral dupla vol = integral duplaA[1 - x - y] , dx , dy, onde a região A é um triângulo definido pelas condições x + y <= 1, x >= 0 e y >= 0. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região A onde vamos integrar. A desigualdade x + y <= 1 junto com x >= 0 e y >= 0 define um triângulo no primeiro quadrante do plano cartesiano. Esse triângulo tem vértices em (0,0), (1,0) e (0,1).

Passo 3

Agora, vamos configurar os limites de integração para a integral dupla. Podemos escolher integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y, ou vice-versa. Aqui, vamos integrar primeiro em x.
Para um valor fixo de y, o valor de x varia de 0 até 1 - y. E y varia de 0 até 1. Então, a integral fica:
vol = integral0^1 integral0^1 - y (1 - x - y) , dx , dy

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é com relação a x:
integral0^1 - y (1 - x - y) , dx
Integrando termo a termo:
  • A integral de 1 em relação a x é x.
  • A integral de -x é -x^22.
  • A integral de -y é -y x.
Então, a integral interna se torna:
[ x - x^22 - yx ]0^1 - y = ( (1 - y) - (1 - y)^22 - y(1 - y) ) - 0

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão obtida:
(1 - y) - (1 - 2y + y^2)2 - y(1 - y) = 1 - y - 12 + y - y^22 - y + y^2
Simplificando termos semelhantes:
12 - y + y^22

Passo 6

Agora, substituímos essa expressão na integral externa e resolvemos em relação a y:
vol = integral0^1 ( 12 - y + y^22 ) dy
Integrando termo a termo:
  • A integral de 12 em relação a y é 12y.
  • A integral de -y é -y^22.
  • A integral de y^22 é y^36.
Então, temos:
[ 12y - y^22 + y^36 ]0^1 = ( 12 - 12 + 16 ) - 0 = 16

Resposta

O volume é 16.

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