Calcule cada uma das integrais abaixo. integral0^2 pi x^2 sen(2 x) d x

Passo 1

Então, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral definida de no intervalo de a . Isso envolve conhecimento de cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes. Vamos precisar aplicar essa técnica mais de uma vez para resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto para derivadas. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher partes da nossa integral para e .

Passo 3

Vamos escolher du = ddx(x^2) , dx = 2x , dx e v = integral sin(2x) , dx = -12 cos(2x) . Agora, precisamos calcular e :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x^2 sin(2x) , dx = u cdot v - integral v , du = x^2 cdot (-12 cos(2x)) - integral (-12 cos(2x)) cdot 2x , dx
Simplificando:
= -12 x^2 cos(2x) + integral x cos(2x) , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral u = x e dv = cos(2x) , dx usando novamente a integração por partes. Desta vez, escolhemos:
du = dx
Calculando v = integral cos(2x) , dx = 12 sin(2x) e :

Passo 6

Aplicando a integração por partes novamente:
integral x cos(2x) , dx = u cdot v - integral v , du = x cdot 12 sin(2x) - integral 12 sin(2x) cdot dx
Simplificando:
= 12 x sin(2x) - 12 integral sin(2x) , dx
= 12 x sin(2x) + 14 cos(2x)

Passo 7

Substituindo de volta na expressão anterior:
integral x^2 sin(2x) , dx = -12 x^2 cos(2x) + ( 12 x sin(2x) + 14 cos(2x) ) + C
Simplificando:
= -12 x^2 cos(2x) + 12 x sin(2x) + 14 cos(2x) + C

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração de [ -12 x^2 cos(2x) + 12 x sin(2x) + 14 cos(2x) ]0^2pi a - 12 (2pi)^2 cos(4pi) + 12 (2pi) sin(4pi) + 14 cos(4pi) :
- 12 cdot 4pi^2 cdot 1 + 12 cdot 2pi cdot 0 + 14 cdot 1 = -2pi^2 + 0 + 14
Calculando em - 12 cdot 0^2 cos(0) + 12 cdot 0 sin(0) + 14 cos(0) = 0 + 0 + 14 = 14 :
Como e :
Calculando em :

Resposta

Subtraindo os valores:
( -2pi^2 + 14 ) - ( 14 ) = -2pi^2
Portanto, o valor da integral é:
-2pi^2

Exercícios relacionados