Calcule cada uma das integrais abaixo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral de
em relação a
. Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração, como a substituição e a integração por partes.
Passo 2
Sabemos que a função
pode ser reescrita usando uma identidade trigonométrica:
Isso vai facilitar a nossa integral.
Passo 3
Substituindo a identidade na integral, temos:
Agora, precisamos resolver essas duas integrais separadamente.
Passo 4
Vamos começar pela integral mais simples:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral mais complexa:
Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Escolhemos:
Passo 6
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, precisamos calcular
.
Passo 7
A integral de
é conhecida:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Passo 8
Agora, juntamos todas as partes que calculamos:
Resposta
A integral de
é: