Calcule cada uma das integrais abaixo. integral x tan ^2(x) d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral de em relação a . Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração, como a substituição e a integração por partes.

Passo 2

Sabemos que a função tan^2(x) = sec^2(x) - 1 pode ser reescrita usando uma identidade trigonométrica:
Isso vai facilitar a nossa integral.

Passo 3

Substituindo a identidade na integral, temos:
integral x tan^2(x) , dx = integral x (sec^2(x) - 1) , dx = integral x sec^2(x) , dx - integral x , dx
Agora, precisamos resolver essas duas integrais separadamente.

Passo 4

Vamos começar pela integral mais simples:
integral x , dx = x^22 + C
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral mais complexa:
integral x sec^2(x) , dx
Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral u , dv = u v - integral v , du
Escolhemos:
u = x Rightarrow du = dx
dv = sec^2(x) , dx Rightarrow v = tan(x)

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x sec^2(x) , dx = x tan(x) - integral tan(x) , dx
Agora, precisamos calcular .

Passo 7

A integral de integral tan(x) , dx = -ln|cos(x)| + C é conhecida:
integral x sec^2(x) , dx = x tan(x) + ln|cos(x)| + C
Substituindo de volta na expressão anterior:

Passo 8

Agora, juntamos todas as partes que calculamos:
integral x tan^2(x) , dx = ( x tan(x) + ln|cos(x)| ) - x^22 + C

Resposta

A integral de x tan(x) + ln|cos(x)| - x^22 + C é:

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