Calcule cada uma das integrais abaixo. integral0^1 / 2 x cos (pi x) d x

Passo 1

Olha só, a gente precisa calcular a integral definida de no intervalo de 0 a . Estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente usando a técnica de integração por partes para resolver essa integral que é o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes, que é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Essa fórmula nos ajuda a transformar a integral de um produto de funções em integrais mais simples para resolver.

Passo 3

Agora, precisamos escolher qual parte da nossa função será u = x Rightarrow du = dx e qual será dv = cos(pi x) dx Rightarrow v = integral cos(pi x) dx = sin(pi x)pi . Geralmente, escolhemos como a função que se simplifica quando derivada. Então, vamos definir:
E:

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x cos(pi x) dx = uv - integral v , du = x cdot sin(pi x)pi - integral sin(pi x)pi dx

Passo 5

Vamos resolver a integral que ficou:
integral sin(pi x)pi dx = 1pi cdot integral sin(pi x) dx = 1pi cdot ( -cos(pi x)pi ) = -cos(pi x)pi^2

Passo 6

Substituindo de volta na expressão:
x sin(pi x)pi - ( -cos(pi x)pi^2 ) = x sin(pi x)pi + cos(pi x)pi^2

Passo 7

Agora, vamos avaliar essa expressão de [ x sin(pi x)pi + cos(pi x)pi^2 ]0^1/2 a 12 sin(pi cdot 12)pi + cos(pi cdot 12)pi^2 = 12pi cdot 1 + 0pi^2 = 12pi :
0 cdot sin(0)pi + cos(0)pi^2 = 0 + 1pi^2 = 1pi^2
Calculando em :
E em :

Resposta

A integral é igual a .

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