Calcule cada uma das integrais abaixo. integral4^9 ln (x)raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando temos uma função complicada dividida por outra mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes: . Nosso objetivo é escolher e de forma que a integral fique mais fácil de resolver.

Passo 3

Vamos identificar du = 1x , dx e v = integral 1raizx , dx = 2raizx na nossa integral:
  • Escolha . Assim, precisamos derivar :
  • Agora, escolha . Vamos integrar para encontrar :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral ln(x)raizx , dx = uv - integral v , du
Substituindo = ln(x) cdot 2raizx - integral 2raizx cdot 1x , dx , , :

Passo 5

Vamos simplificar a segunda integral:
2raizx cdot 1x = 2x^-12
Então, a integral fica:
2raizx ln(x) - 2 integral x^-12 , dx

Passo 6

Agora, vamos integrar integral x^-12 , dx = 2raizx :
2raizx ln(x) - 2 cdot 2raizx = 2raizx ln(x) - 4raizx
Portanto, nossa expressão fica:

Passo 7

Agora, avaliamos essa expressão entre os limites de 4 e 9:
[2raizx ln(x) - 4raizx]4^9
Calculando para 2 cdot 3 cdot ln(9) - 4 cdot 3 = 6ln(9) - 12 :
2 cdot 2 cdot ln(4) - 4 cdot 2 = 4ln(4) - 8
E para :

Passo 8

Subtraindo os valores:
(6ln(9) - 12) - (4ln(4) - 8) = 6ln(9) - 12 - 4ln(4) + 8 = 6ln(9) - 4ln(4) - 4
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:
ln(9) = 2ln(3) e ln(4) = 2ln(2)
Substituindo:
6 cdot 2ln(3) - 4 cdot 2ln(2) - 4 = 12ln(3) - 8ln(2) - 4

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados