Calcule cada uma das integrais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando temos uma função complicada dividida por outra mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
. Nosso objetivo é escolher
e
de forma que a integral fique mais fácil de resolver.
Passo 3
Vamos identificar
e
na nossa integral:
- Escolha
. Assim, precisamos derivar : - Agora, escolha
. Vamos integrar para encontrar :
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
,
:
Passo 5
Vamos simplificar a segunda integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar
:
Portanto, nossa expressão fica:
Passo 7
Agora, avaliamos essa expressão entre os limites de 4 e 9:
Calculando para
:
E para
:
Passo 8
Subtraindo os valores:
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:
Substituindo:
Resposta
A integral
é igual a
.