Calcule os limites de quocientes indeterminados.
(f) lim x 2 x^3-5 x^2+6 xx^2-7 x+10

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um limite de uma função que gera uma forma indeterminada. O problema é calcular . Vamos usar conhecimentos de álgebra, como fatoração de polinômios, para simplificar essa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos 2^3 - 5 times 2^2 + 6 times 2 = 8 - 20 + 12 = 0 diretamente na função.
No numerador:
2^2 - 7 times 2 + 10 = 4 - 14 + 10 = 0
No denominador:
Como obtemos , que é uma forma indeterminada, precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador x^3 - 5x^2 + 6x = x(x^2 - 5x + 6) . Primeiro, fazemos a fatoração por fator comum:
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
Agora, fatoramos o polinômio quadrático:
x(x - 2)(x - 3)
Então, o numerador fica:

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador x^2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5) . Procuramos dois números que multiplicados dão 10 e somados dão -7. Esses números são -2 e -5:

Passo 5

Substituímos a fatoração na expressão original:
x^3-5 x^2+6 xx^2-7 x+10 = x(x - 2)(x - 3)(x - 2)(x - 5)
Observamos que x(x - 3)x - 5 está presente tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelar esses termos, desde que :

Passo 6

Agora que simplificamos a expressão, substituímos 2(2 - 3)2 - 5 = 2 times (-1)-3 = -2-3 = 23 diretamente:

Resposta

O limite é .

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