Calcule cada uma das integrais abaixo.
integral 1(x+3)(x^2-1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso envolve cálculo de integrais de frações racionais, então vamos usar a técnica de frações parciais para decompô-la.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador x^2-1 = (x-1)(x+1) . Sabemos que (x+3)(x-1)(x+1) é uma diferença de quadrados, então pode ser fatorado assim:
Agora, nosso denominador fica:

Passo 3

Agora, expressamos a fração original como soma de frações parciais:
1(x+3)(x-1)(x+1) = Ax+3 + Bx-1 + Cx+1
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum 1 = A(x-1)(x+1) + B(x+3)(x+1) + C(x+3)(x-1) para eliminar as frações:
1 = A(-4)(-2) Rightarrow 1 = 8A Rightarrow A = 18
Expandindo e agrupando os termos, podemos resolver para 1 = B(4)(2) Rightarrow 1 = 8B Rightarrow B = 18 , 1 = C(2)(-2) Rightarrow 1 = -4C Rightarrow C = -14 e . Uma maneira mais rápida é substituir valores estratégicos de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Agora que temos 1(x+3)(x^2-1) = 1/8x+3 + 1/8x-1 - 1/4x+1 , integral 1(x+3)(x^2-1) , dx = 18 ln|x+3| + 18 ln|x-1| - 14 ln|x+1| + C e , substituímos de volta na expressão das frações parciais:
Integrando cada termo:

Resposta

integral 1(x+3)(x^2-1) , dx = 18 ln|x+3| + 18 ln|x-1| - 14 ln|x+1| + C

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