Calcule cada uma das integrais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Isso envolve cálculo de integrais de frações racionais, então vamos usar a técnica de frações parciais para decompô-la.
Passo 2
Primeiro, fatoramos o denominador
. Sabemos que
é uma diferença de quadrados, então pode ser fatorado assim:
Agora, nosso denominador fica:
Passo 3
Agora, expressamos a fração original como soma de frações parciais:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
e
.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Expandindo e agrupando os termos, podemos resolver para
,
e
. Uma maneira mais rápida é substituir valores estratégicos de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora que temos
,
e
, substituímos de volta na expressão das frações parciais:
Integrando cada termo: