Derive a função
x sen(y) + y sen(x) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação . Esse exercício está no ramo de cálculo, especificamente em derivadas. O que a gente precisa fazer é encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar a diferenciação implícita, que é quando está misturado com na equação e a gente não pode isolar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar os dois lados da equação em relação a . Lembre-se que quando está envolvido, precisamos usar a regra da cadeia, porque é uma função de .
Diferenciando o lado esquerdo:
Vamos diferenciar cada termo separadamente.

Passo 3

Vamos diferenciar :
Usamos a regra do produto, que diz que .
Aqui, e .
Então:
Sabemos que e (regra da cadeia).
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar :
Novamente, usamos a regra do produto.
Aqui, e .
Então:
Sabemos que e .
Portanto:

Passo 5

Agora, juntamos as duas derivadas que encontramos:
O lado direito da equação é a derivada de 1, que é 0.
Então:

Passo 6

Nosso objetivo é isolar . Vamos agrupar os termos que contêm :
Agora, fatoramos do lado esquerdo:

Passo 7

Finalmente, isolamos :

Resposta

Exercícios relacionados

Derive a função
sen(x y) = cos(x + y)
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(a) f(x) = (3 x^4 - 7 x^2)(5 x - 11)
(b) f(x) = (2x + 3) / (x^2 - 1)
© f(x) = raiz(x) / (x^2 - 2*x)
(d) f(x) = raiz(cube(x)) + 4/x
(e) f(x) = (4*x^3 - 5/x^3 + raiz(x)) * (3/x - 4*x + 6)
(f) f(x) = x |x|
Calcule cada uma das integrais abaixo.
integral 1(x+3)(x^2-1) d x
Considere a função f(x)=-2 x^3 + 3 x^2 + 1 em [-1, 1]. Sejam a, b pertencem a [-1, 1] os pontos onde f assume os valores de máximo (global) e mínimo (global), respectivamente. Podemos afirmar que o valor da soma a + b vale:
(Até 4 pontos)
a) -3/2
b) -1
c) -1 / 2
d) 0
e) 1