Derive a função
sen(x y) = cos(x + y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação onde temos . Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada dessa função, ou seja, determinar . Para fazer isso, vamos usar o conceito de derivada implícita, que é uma técnica útil quando temos uma equação envolvendo ambas as variáveis x e y.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para derivar uma função implícita, precisamos aplicar a regra da cadeia. Isso significa que sempre que tivermos y em nossos cálculos, vamos multiplicar pela derivada de y em relação a x, que é .

Passo 3

Vamos começar derivando o lado esquerdo da equação . Usando a regra da cadeia, a derivada de é . Aqui, , então precisamos derivar x y em relação a x.
A derivada de x y em relação a x é . Portanto, a derivada do lado esquerdo fica:

Passo 4

Agora, vamos derivar o lado direito da equação . Mais uma vez, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de é . Aqui, , então a derivada de em relação a x é .
Portanto, a derivada do lado direito é:

Passo 5

Agora que temos as derivadas dos dois lados, igualamos elas:
Nosso objetivo é isolar . Vamos distribuir os termos:

Passo 6

Vamos reunir os termos que contêm de um lado e os demais termos do outro:
Fatorando :

Passo 7

Agora, isolamos dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando ela:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados