Derive a função
sen(x y) = cos(x + y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação onde temos . Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada dessa função, ou seja, determinar . Para fazer isso, vamos usar o conceito de derivada implícita, que é uma técnica útil quando temos uma equação envolvendo ambas as variáveis x e y.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para derivar uma função implícita, precisamos aplicar a regra da cadeia. Isso significa que sempre que tivermos y em nossos cálculos, vamos multiplicar pela derivada de y em relação a x, que é .

Passo 3

Vamos começar derivando o lado esquerdo da equação . Usando a regra da cadeia, a derivada de é . Aqui, , então precisamos derivar x y em relação a x.
A derivada de x y em relação a x é . Portanto, a derivada do lado esquerdo fica:

Passo 4

Agora, vamos derivar o lado direito da equação . Mais uma vez, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de é . Aqui, , então a derivada de em relação a x é .
Portanto, a derivada do lado direito é:

Passo 5

Agora que temos as derivadas dos dois lados, igualamos elas:
Nosso objetivo é isolar . Vamos distribuir os termos:

Passo 6

Vamos reunir os termos que contêm de um lado e os demais termos do outro:
Fatorando :

Passo 7

Agora, isolamos dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando ela:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(a) f(x) = (3 x^4 - 7 x^2)(5 x - 11)
(b) f(x) = (2x + 3) / (x^2 - 1)
© f(x) = raiz(x) / (x^2 - 2*x)
(d) f(x) = raiz(cube(x)) + 4/x
(e) f(x) = (4*x^3 - 5/x^3 + raiz(x)) * (3/x - 4*x + 6)
(f) f(x) = x |x|
Usando a definição, calcule a derivada de cada uma das funções abaixo. Em seguida, determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)), para o valor de a indicado.
(a) f(x) = x^2 - x + 1, a = 1
(b) f(x) = 1/x, a = -2
© f(x) = raiz(x), a = 4
(d) f(x) = 1 / raiz(x), a = 1
Derive a função
x sen(y) + y sen(x) = 1
Calcule cada uma das integrais abaixo.
integral 1(x+3)(x^2-1) d x