Derive a função
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação onde temos
. Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada dessa função, ou seja, determinar
. Para fazer isso, vamos usar o conceito de derivada implícita, que é uma técnica útil quando temos uma equação envolvendo ambas as variáveis
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para derivar uma função implícita, precisamos aplicar a regra da cadeia. Isso significa que sempre que tivermos
em nossos cálculos, vamos multiplicar pela derivada de
em relação a
, que é
.
Passo 3
Vamos começar derivando o lado esquerdo da equação
. Usando a regra da cadeia, a derivada de
é
. Aqui,
, então precisamos derivar
em relação a
.
A derivada de
em relação a
é
. Portanto, a derivada do lado esquerdo fica:
Passo 4
Agora, vamos derivar o lado direito da equação
. Mais uma vez, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de
é
. Aqui,
, então a derivada de
em relação a
é
.
Portanto, a derivada do lado direito é:
Passo 5
Agora que temos as derivadas dos dois lados, igualamos elas:
Nosso objetivo é isolar
. Vamos distribuir os termos:
Passo 6
Vamos reunir os termos que contêm
de um lado e os demais termos do outro:
Fatorando
:
Passo 7
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando ela:
Resposta
A derivada da função é:
Exercícios relacionados
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Usando a definição, calcule a derivada de cada uma das funções abaixo. Em seguida, determine a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
, para o valor de
indicado.
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Derive a função
Calcule cada uma das integrais abaixo.