Encontre os limites indicados. Caso o limite não exista, explique o porquê.
(f) lim x 0 |sin x|sin x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o limite quando se aproxima de 0 para a expressão . Aqui, estamos trabalhando com limites e funções trigonométricas, especificamente o seno. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento de perto de 0 e como o valor absoluto afeta a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o valor absoluto. O sempre será positivo ou zero, pois o valor absoluto remove qualquer sinal negativo. Já o pode ser positivo ou negativo dependendo do valor de .

Passo 3

Agora, vamos observar o comportamento de quando se aproxima de 0:
  • Se se aproxima de 0 pela direita (valores positivos de ), é positivo.
  • Se se aproxima de 0 pela esquerda (valores negativos de ), é negativo.

Passo 4

Vamos calcular o limite pela direita ( limx to 0^+ |sin x|sin x = sin xsin x = 1 ):
Porque é positivo nesse caso, então o valor absoluto não altera nada.

Passo 5

Agora, calculamos o limite pela esquerda ( limx to 0^- |sin x|sin x = -sin xsin x = -1 ):
Aqui, é negativo, então o valor absoluto de vira positivo, mas no denominador permanece negativo, resultando em -1.

Passo 6

Comparando os limites pela direita e pela esquerda:
limx to 0^+ |sin x|sin x = 1 e limx to 0^- |sin x|sin x = -1
Como os dois limites laterais são diferentes, o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe porque os limites pela direita e pela esquerda são diferentes.

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