Encontre os limites indicados. Caso o limite não exista, explique o porquê.
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o limite quando
se aproxima de 0 para a expressão
. Aqui, estamos trabalhando com limites e funções trigonométricas, especificamente o seno. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento de
perto de 0 e como o valor absoluto afeta a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o valor absoluto. O
sempre será positivo ou zero, pois o valor absoluto remove qualquer sinal negativo. Já o
pode ser positivo ou negativo dependendo do valor de
.
Passo 3
Agora, vamos observar o comportamento de
quando
se aproxima de 0:
- Se
se aproxima de 0 pela direita (valores positivos de ), é positivo. - Se
se aproxima de 0 pela esquerda (valores negativos de ), é negativo.
Passo 4
Vamos calcular o limite pela direita (
):
Porque
é positivo nesse caso, então o valor absoluto não altera nada.
Passo 5
Agora, calculamos o limite pela esquerda (
):
Aqui,
é negativo, então o valor absoluto de
vira positivo, mas
no denominador permanece negativo, resultando em -1.
Passo 6
Comparando os limites pela direita e pela esquerda:
Como os dois limites laterais são diferentes, o limite geral não existe.
Resposta
O limite
não existe porque os limites pela direita e pela esquerda são diferentes.