Calcule cada uma das integrais ao longo da curva
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral
ao longo da curva dada por
, onde
varia de
a
. Vamos precisar dos conceitos de parametrização de curvas e de integrais de linha em campos escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da curva. Temos
. Isso significa que as coordenadas
ao longo da curva são:
Passo 3
A integral de linha de um campo escalar ao longo de uma curva parametrizada é dada por:
No nosso caso,
e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular
:
Passo 5
Agora, vamos substituir
,
e
na função
:
Passo 6
Substituindo tudo na integral, temos:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 8
Aplicando os limites de integração de
a
:
Passo 9
Calculando os valores numéricos:
Resposta
A integral
ao longo da curva dada é
.
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Faça a mudança de variável necessária para calcular as seguintes integrais:
(d)
(d)
Faça a mudança de variável necessária para calcular as seguintes integrais:
(b)
(b)
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada:
Calcule a integral de linha
, onde
é dada pela função vetorial
:
;
R: