Calcule cada uma das integrais ao longo da curva r(t)=t imath-jmath+t^2 k ; 0 <= t <= 1
integralc(x+y-z) d x.
R:-56

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral integralc(x+y-z) , dx ao longo da curva dada por r(t) = t imath - jmath + t^2 k, onde t varia de 0 a 1. Vamos precisar dos conceitos de parametrização de curvas e de integrais de linha em campos escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da curva. Temos r(t) = t imath - jmath + t^2 k. Isso significa que as coordenadas (x, y, z) ao longo da curva são:
x = t, y = -1, z = t^2

Passo 3

A integral de linha de um campo escalar ao longo de uma curva parametrizada é dada por:
integralc f(x, y, z) , dx = integrala^b f(x(t), y(t), z(t)) dxdt , dt
No nosso caso, f(x, y, z) = x + y - z e dx/dt é a derivada de x em relação a t.

Passo 4

Vamos calcular dx/dt:
x = t implies dxdt = 1

Passo 5

Agora, vamos substituir x(t), y(t) e z(t) na função f(x, y, z):
f(x(t), y(t), z(t)) = t + (-1) - t^2 = t - 1 - t^2

Passo 6

Substituindo tudo na integral, temos:
integral0^1 (t - 1 - t^2) cdot 1 , dt = integral0^1 (t - 1 - t^2) , dt

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral (t - 1 - t^2) , dt = t^22 - t - t^33 + C

Passo 8

Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
[ 1^22 - 1 - 1^33 ] - [ 0^22 - 0 - 0^33 ] = ( 12 - 1 - 13 ) - 0

Passo 9

Calculando os valores numéricos:
12 - 1 - 13 = 36 - 66 - 26 = 3 - 6 - 26 = -56

Resposta

A integral integralc(x+y-z) , dx ao longo da curva dada é -dfrac56.

Exercícios relacionados