Faça a mudança de variável necessária para calcular as seguintes integrais:
(b) integral0^2 integral0^raiz4-x^2 integral0^raiz16-x^2-y^2 raizx^2+y^2 d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral tripla que envolve as variáveis , e . O objetivo é fazer uma mudança de variável pra facilitar o cálculo dessa integral. Para isso, vamos precisar usar coordenadas cilíndricas, que são muito úteis quando lidamos com simetria circular ou esférica. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral que temos:
integral0^2 integral0^raiz4-x^2 integral0^raiz16-x^2-y^2 raizx^2+y^2 , dz , dy , dx
Aqui, os limites de vão até , o que indica uma região circular no plano . E os limites de vão até , o que sugere a parte superior de uma esfera com raio 4. Para simplificar, vamos trocar para coordenadas cilíndricas.

Passo 3

Nas coordenadas cilíndricas, a relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é dada por:
x = r cos theta
y = r sin theta
z = z
E o elemento de volume muda para:
dV = r , dz , dr , dtheta
Além disso, vira simplesmente , o que já simplifica a nossa integral!

Passo 4

Agora, vamos identificar os novos limites de integração:
  • varia de 0 a 2, porque varia de 0 a 2 e vai até , formando um círculo de raio 2.
  • varia de 0 a para cobrir o primeiro quadrante.
  • varia de 0 a , que é a altura da esfera em coordenadas cilíndricas.

Passo 5

Vamos reescrever a integral original em coordenadas cilíndricas:
integral0^pi2 integral0^2 integral0^raiz16 - r^2 r cdot r , dz , dr , dtheta
Simplificando, temos:
integral0^pi2 integral0^2 integral0^raiz16 - r^2 r^2 , dz , dr , dtheta

Passo 6

Vamos integrar em relação a integral0^raiz16 - r^2 r^2 , dz = r^2 [ z ]0^raiz16 - r^2 = r^2 raiz16 - r^2 primeiro:
integral0^pi2 integral0^2 r^2 raiz16 - r^2 , dr , dtheta
Agora, nossa integral fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral em relação a integralu=16^u=12 (raizu) cdot (-12) du = 12 integral12^16 raizu , du . Para isso, fazemos uma substituição:
Seja 12 cdot 23 u^3/2 |12^16 = 13 (16^3/2 - 12^3/2) = 13 (64 - 12raiz12) , então 643 - 4raiz12 = 643 - 4 cdot 2raiz3 = 643 - 8raiz3 , ou seja, .
A integral vira:
Integrando:
Simplificando:

Passo 8

Agora, integramos em relação a integral0^pi2 (643 - 8raiz3) dtheta = (643 - 8raiz3) cdot pi2 :
pi2 cdot 643 - pi2 cdot 8raiz3 = 32pi3 - 4piraiz3
Simplificando:

Resposta

A integral vale .

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