Faça a mudança de variável necessária para calcular as seguintes integrais:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral tripla que envolve as variáveis , e . O objetivo é fazer uma mudança de variável pra facilitar o cálculo dessa integral. Para isso, vamos precisar usar coordenadas cilíndricas, que são muito úteis quando lidamos com simetria circular ou esférica. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral que temos:
Aqui, os limites de vão até , o que indica uma região circular no plano . E os limites de vão até , o que sugere a parte superior de uma esfera com raio 4. Para simplificar, vamos trocar para coordenadas cilíndricas.

Passo 3

Nas coordenadas cilíndricas, a relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é dada por:
E o elemento de volume muda para:
Além disso, vira simplesmente , o que já simplifica a nossa integral!

Passo 4

Agora, vamos identificar os novos limites de integração:
  • varia de 0 a 2, porque varia de 0 a 2 e vai até , formando um círculo de raio 2.
  • varia de 0 a para cobrir o primeiro quadrante.
  • varia de 0 a , que é a altura da esfera em coordenadas cilíndricas.

Passo 5

Vamos reescrever a integral original em coordenadas cilíndricas:
Simplificando, temos:

Passo 6

Vamos integrar em relação a primeiro:
Agora, nossa integral fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral em relação a . Para isso, fazemos uma substituição:
Seja , então , ou seja, .
A integral vira:
Integrando:
Simplificando:

Passo 8

Agora, integramos em relação a :
Simplificando:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Considere o sólido limitado por e os planos coordenado. Calcule o volume do sólido, fazendo:
(b)
Esboce o gráfico de .
Faça a mudança de variável necessária para calcular as seguintes integrais:
(d)
Calcule cada uma das integrais ao longo da curva
.