Faça a mudança de variável necessária para calcular as seguintes integrais:
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral tripla que envolve as variáveis , e . O objetivo é fazer uma mudança de variável pra facilitar o cálculo dessa integral. Para isso, vamos precisar usar coordenadas cilíndricas, que são muito úteis quando lidamos com simetria circular ou esférica. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral que temos:
Aqui, os limites de vão até , o que indica uma região circular no plano . E os limites de vão até , o que sugere a parte superior de uma esfera com raio 4. Para simplificar, vamos trocar para coordenadas cilíndricas.
Passo 3
Nas coordenadas cilíndricas, a relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é dada por:
E o elemento de volume muda para:
Além disso, vira simplesmente , o que já simplifica a nossa integral!
Passo 4
Agora, vamos identificar os novos limites de integração:
varia de 0 a 2, porque varia de 0 a 2 e vai até , formando um círculo de raio 2.
varia de 0 a para cobrir o primeiro quadrante.
varia de 0 a , que é a altura da esfera em coordenadas cilíndricas.
Passo 5
Vamos reescrever a integral original em coordenadas cilíndricas:
Simplificando, temos:
Passo 6
Vamos integrar em relação a primeiro:
Agora, nossa integral fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral em relação a . Para isso, fazemos uma substituição: