Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada:
integralc^ m x y e^y z d y ; C: x=t, y=t^2, z=t^3 ; 0 <= t <= 1 R: 25(e^m-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra calcular uma integral de linha na curva integralC^m x y e^y z , dy , que é definida pelas equações paramétricas , e para entre 0 e 1. A integral que precisamos resolver é:
Aqui, nosso foco é em Cálculo Vetorial, mais especificamente em integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e substituir as variáveis na integral original.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da curva x = t, y = t^2, z = t^3, com 0 <= t <= 1 . As equações dadas são:
O parâmetro nos ajuda a expressar , e em termos de uma única variável, o que facilita a substituição na integral.

Passo 3

Agora, vamos substituir as expressões paramétricas na integral original. A integral dada é:
integralC^m x y e^y z , dy
Substituindo x = t y = t^2 z = t^3 dy = ddt(t^2) , dt = 2t , dt , e :

Passo 4

Substituindo tudo na integral, temos:
integral0^1 x y e^y z , dy = integral0^1 t cdot t^2 cdot e^t^2 cdot t^3 cdot 2t , dt
Simplificando os termos:
t cdot t^2 cdot e^t^5 cdot 2t = 2t^4 e^t^5
Então, a integral fica:
integral0^1 2t^4 e^t^5 , dt

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Vamos deixar du = 5t^4 , dt Rightarrow t^4 , dt = du5 , então:
integral 2t^4 e^t^5 , dt = 2 cdot 15 integral e^u , du = 25 e^u + C
Substituindo na integral:
25 e^t^5 + C
Voltando para a variável original :

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
25 e^t^5 |0^1 = 25 e^1^5 - 25 e^0^5 = 25 e - 25 cdot 1 = 25(e - 1)

Resposta

A integral de linha é igual a .

Exercícios relacionados