Beleza, vamos lá! O exercício pede pra calcular uma integral de linha na curva , que é definida pelas equações paramétricas , e para entre 0 e 1. A integral que precisamos resolver é:
Aqui, nosso foco é em Cálculo Vetorial, mais especificamente em integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e substituir as variáveis na integral original.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da curva . As equações dadas são:
O parâmetro nos ajuda a expressar , e em termos de uma única variável, o que facilita a substituição na integral.
Passo 3
Agora, vamos substituir as expressões paramétricas na integral original. A integral dada é:
Substituindo , e :
Passo 4
Substituindo tudo na integral, temos:
Simplificando os termos:
Então, a integral fica:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Vamos deixar , então:
Substituindo na integral:
Voltando para a variável original :
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1: