Calcule a integral de linha, onde é a curva dada:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra calcular uma integral de linha na curva , que é definida pelas equações paramétricas , e para entre 0 e 1. A integral que precisamos resolver é:
Aqui, nosso foco é em Cálculo Vetorial, mais especificamente em integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e substituir as variáveis na integral original.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da curva . As equações dadas são:
O parâmetro nos ajuda a expressar , e em termos de uma única variável, o que facilita a substituição na integral.

Passo 3

Agora, vamos substituir as expressões paramétricas na integral original. A integral dada é:
Substituindo , e :

Passo 4

Substituindo tudo na integral, temos:
Simplificando os termos:
Então, a integral fica:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Vamos deixar , então:
Substituindo na integral:
Voltando para a variável original :

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:

Resposta

A integral de linha é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule cada uma das integrais ao longo da curva
.
Faça a mudança de variável necessária para calcular as seguintes integrais:
(d)
Calcule a integral de linha , onde é dada pela função vetorial :
;
R:
Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.