Calcule a integral de linha
, onde
é dada pela função vetorial
:
;
R:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Nós precisamos calcular a integral de linha
, onde
é o campo vetorial, e
é a curva definida pela função vetorial para
. Vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e o cálculo de integrais de linha.
Passo 2
A integral de linha
pode ser calculada substituindo a parametrização da curva
na expressão do campo vetorial
e depois integrando em relação a
. Vamos fazer isso passo a passo.
Passo 3
Primeiro, encontramos
substituindo
, , e
na expressão de
:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
:
Passo 5
Em seguida, calculamos o produto escalar
:
Passo 6
Agora, configuramos a integral substituindo os limites de
de
a
:
Passo 7
Vamos resolver essa integral termo a termo:
-
-
: Usamos a identidade , então:
- : Usamos integração por partes, onde
e . Então, e :
Avaliada nos limites:
Resposta
Somando todos os termos, a integral de linha é
. Portanto, a resposta final é:
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada:
Calcule cada uma das integrais ao longo da curva
.
Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
Determine a massa e o CM de um arame fino no formato de um quarto de círculo
,
, se a função densidade for