Calcule a integral de linha , onde é dada pela função vetorial :
;
R:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Nós precisamos calcular a integral de linha , onde é o campo vetorial, e é a curva definida pela função vetorial para . Vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e o cálculo de integrais de linha.

Passo 2

A integral de linha pode ser calculada substituindo a parametrização da curva na expressão do campo vetorial e depois integrando em relação a . Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 3

Primeiro, encontramos substituindo , , e na expressão de :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que é :

Passo 5

Em seguida, calculamos o produto escalar :

Passo 6

Agora, configuramos a integral substituindo os limites de de a :

Passo 7

Vamos resolver essa integral termo a termo:
  1. : Usamos a identidade , então:
  1. : Usamos integração por partes, onde e . Então, e :
Avaliada nos limites:

Resposta

Somando todos os termos, a integral de linha é . Portanto, a resposta final é:

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Calcule a integral de linha, onde é a curva dada:
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.
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