Calcule a integral de linha integralc F cdot d r, onde C é dada pela função vetorial r(t) :
F(x, y, z)=z imath+y jmath-x k;
r(t)=t imath+sen t jmath+cos t k ; 0 <= t <= pi R: pi

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Nós precisamos calcular a integral de linha , onde é o campo vetorial, e é a curva definida pela função vetorial para . Vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e o cálculo de integrais de linha.

Passo 2

A integral de linha pode ser calculada substituindo a parametrização da curva na expressão do campo vetorial e depois integrando em relação a . Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 3

Primeiro, encontramos F(r(t)) = cos t imath + sen t jmath - t k substituindo , , e na expressão de :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada de r,'(t) = ddt ( t imath + sen t jmath + cos t k ) = imath + cos t jmath - sen t k em relação a , que é :

Passo 5

Em seguida, calculamos o produto escalar F(r(t)) cdot r,'(t) = (cos t)(1) + (sen t)(cos t) + (-t)(- sen t) = cos t + sen t cos t + t sen t :

Passo 6

Agora, configuramos a integral substituindo os limites de integral0^pi ( cos t + sen t cos t + t sen t ) dt de a :

Passo 7

Vamos resolver essa integral termo a termo:
  1. : Usamos a identidade , então:
  1. : Usamos integração por partes, onde 12 integral0^pi sen 2t , dt = 12 ( -12 cos 2t ) g|0^pi = -14 ( cos 2pi - cos 0 ) = -14 (1 - 1) = 0 e . Então, uv - integral v , du = -t cos t + integral cos t , dt = -t cos t + sen t g|0^pi e - pi cos pi + sen pi - ( -0 cos 0 + sen 0 ) = -pi (-1) + 0 - (0 + 0) = pi :
Avaliada nos limites:

Resposta

Somando todos os termos, a integral de linha é integralC F cdot dr = pi . Portanto, a resposta final é:

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