Faça a mudança de variável necessária para calcular as seguintes integrais:
(d)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral tripla com limites que descrevem uma região no espaço tridimensional, e precisamos calcular essa integral usando uma mudança de variável apropriada. O conteúdo envolve cálculo de integrais múltiplas e coordenadas esféricas. Vamos precisar usar coordenadas esféricas e lembrar como transformar a integral nesse novo sistema.
Passo 2
Vamos identificar a região de integração. Os limites para vão de 0 até , para de 0 até e para de 0 a 1. Isso descreve o primeiro octante de uma esfera de raio 1 centrada na origem.
Passo 3
A mudança de variável mais adequada aqui é para coordenadas esféricas, já que temos a expressão . Em coordenadas esféricas, as coordenadas , e são dadas por:
E o elemento de volume muda para:
Passo 4
Vamos reescrever a integral original em coordenadas esféricas. A função dentro da integral, integral integral integral rho cdot rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta = integral integral integral rho^3 sin phi , drho , dphi , dtheta , simplifica para . Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, precisamos determinar os novos limites de integração em coordenadas esféricas. Como estamos no primeiro octante e dentro de uma esfera de raio 1: