Faça a mudança de variável necessária para calcular as seguintes integrais:
(d)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral tripla com limites que descrevem uma região no espaço tridimensional, e precisamos calcular essa integral usando uma mudança de variável apropriada. O conteúdo envolve cálculo de integrais múltiplas e coordenadas esféricas. Vamos precisar usar coordenadas esféricas e lembrar como transformar a integral nesse novo sistema.

Passo 2

Vamos identificar a região de integração. Os limites para vão de 0 até , para de 0 até e para de 0 a 1. Isso descreve o primeiro octante de uma esfera de raio 1 centrada na origem.

Passo 3

A mudança de variável mais adequada aqui é para coordenadas esféricas, já que temos a expressão . Em coordenadas esféricas, as coordenadas , e são dadas por:
E o elemento de volume muda para:

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em coordenadas esféricas. A função dentro da integral, , simplifica para . Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, precisamos determinar os novos limites de integração em coordenadas esféricas. Como estamos no primeiro octante e dentro de uma esfera de raio 1:

Passo 6

Com os limites definidos, a integral fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, a integral em :

Passo 8

Agora, a integral em :

Passo 9

Por fim, a integral em :

Resposta

Multiplicando todos os resultados obtidos:
Então, o valor da integral é .

Exercícios relacionados

Faça a mudança de variável necessária para calcular as seguintes integrais:
(b)
Considere o sólido limitado por e os planos coordenado. Calcule o volume do sólido, fazendo:
(b)
Calcule cada uma das integrais ao longo da curva
.
Calcule a integral de linha, onde é a curva dada: