Faça a mudança de variável necessária para calcular as seguintes integrais:
(d) integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integral0^raiz1-x^2-y^2 raizx^2+y^2+z^2 d z d y d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral tripla com limites que descrevem uma região no espaço tridimensional, e precisamos calcular essa integral usando uma mudança de variável apropriada. O conteúdo envolve cálculo de integrais múltiplas e coordenadas esféricas. Vamos precisar usar coordenadas esféricas e lembrar como transformar a integral nesse novo sistema.

Passo 2

Vamos identificar a região de integração. Os limites para vão de 0 até , para de 0 até e para de 0 a 1. Isso descreve o primeiro octante de uma esfera de raio 1 centrada na origem.

Passo 3

A mudança de variável mais adequada aqui é para coordenadas esféricas, já que temos a expressão x = rho sin phi cos theta y = rho sin phi sin theta z = rho cos phi . Em coordenadas esféricas, as coordenadas dV = rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta , e são dadas por:
E o elemento de volume muda para:

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em coordenadas esféricas. A função dentro da integral, integral integral integral rho cdot rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta = integral integral integral rho^3 sin phi , drho , dphi , dtheta , simplifica para . Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, precisamos determinar os novos limites de integração em coordenadas esféricas. Como estamos no primeiro octante e dentro de uma esfera de raio 1:
rho in [0, 1], phi in [0, pi2], theta in [0, pi2]

Passo 6

Com os limites definidos, a integral fica:
integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^1 rho^3 sin phi , drho , dphi , dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, a integral em integral0^1 rho^3 , drho = [ rho^44 ]0^1 = 14 :

Passo 8

Agora, a integral em integral0^pi2 sin phi , dphi = [ -cos phi ]0^pi2 = -cos(pi2) + cos(0) = 0 + 1 = 1 :

Passo 9

Por fim, a integral em integral0^pi2 dtheta = [ theta ]0^pi2 = pi2 :

Resposta

Multiplicando todos os resultados obtidos:
14 times 1 times pi2 = pi8
Então, o valor da integral é .

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