Calcule cada uma das integrais. Se necessário, inverta a ordem de integração:
b) integral0^512 integralraiz[3]x^8 sen(y^4) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas, que fazem parte do estudo de cálculo multivariável. Para resolver isso, pode ser necessário trocar a ordem de integração para facilitar a conta. Vamos precisar entender os limites de integração e possivelmente reescrever a região de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano xy. Temos:
  • O limite inferior para é 0 e o superior é 512.
  • Para cada , varia de até 8.
Então, a região está limitada por e , com indo de 0 a 512.

Passo 3

Para trocar a ordem de integração, precisamos expressar em função de . Sabemos que implica .
Agora, vamos determinar os novos limites:
  • varia de 0 até 8.
  • Para cada , varia de 0 até .

Passo 4

Com a ordem de integração trocada, a integral fica:
Agora, notice que não depende de integral0^8 integral0^y^3 sen(y^4) , dx , dy , então podemos simplificar a integral interna.

Passo 5

Vamos integrar em relação a integral0^y^3 sen(y^4) , dx = sen(y^4) cdot integral0^y^3 dx = sen(y^4) cdot y^3 :

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral externa:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples.

Passo 7

Vamos deixar dudy = 4y^3 Rightarrow dy = du4y^3 . Então, a derivada de y^3 , dy = du4 em relação a é:
Mas, como temos na integral, podemos reescrever:

Passo 8

Substituindo na integral:

Passo 9

Agora, a integral de é:
Então, avaliando de 0 a 4096:
integral sen(u) , du = -cos(u) + C

Resposta

A integral vale:
14 ( 1 - cos(4096) )

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