Calcule cada uma das integrais. Se necessário, inverta a ordem de integração:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas, que fazem parte do estudo de cálculo multivariável. Para resolver isso, pode ser necessário trocar a ordem de integração para facilitar a conta. Vamos precisar entender os limites de integração e possivelmente reescrever a região de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano xy. Temos:
- O limite inferior para
é 0 e o superior é 512. - Para cada
, varia de até 8.
Então, a região está limitada por
e
, com
indo de 0 a 512.
Passo 3
Para trocar a ordem de integração, precisamos expressar
em função de
. Sabemos que
implica
.
Agora, vamos determinar os novos limites:
-
varia de 0 até 8. - Para cada
, varia de 0 até .
Passo 4
Com a ordem de integração trocada, a integral fica:
Agora, notice que não depende de
, então podemos simplificar a integral interna.
Passo 5
Vamos integrar em relação a
:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples.
Passo 7
Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Mas, como temos
na integral, podemos reescrever:
Passo 8
Substituindo na integral:
Passo 9
Agora, a integral de é:
Então, avaliando de 0 a 4096:
Resposta
A integral vale:
Exercícios relacionados
Calcule
, onde:
d) e
d)
Calcule as seguintes integrais:
h)
h)
Calcule as seguintes integrais:
c)
c)
a)
b)
b)