Calcule integral duplaR f(x, y) d R, onde:
d) f(x, y)=x^3+4 y e R=(x, y) in R^2 / 0 <= x <= 2, x^2 <= y <= 2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla integral duplaR (x^3 + 4y) , dR. Primeiro, vamos entender o que a questão pede. A gente precisa calcular a área sob a função f(x, y) = x^3 + 4y sobre a região R. A região R é definida por 0 <= x <= 2 e x^2 <= y <= 2x. Para resolver isso, vamos usar a técnica de integrais duplas em coordenadas cartesianas, que nos permite somar pequenas parcelas da função sobre a região especificada.

Passo 2

Vamos começar identificando os limites de integração. O x varia de 0 a 2. Para cada valor de x, o y varia de x^2 até 2x. Então, nossa integral dupla fica assim:
integral0^2 integralx^2^2x (x^3 + 4y) , dy , dx

Passo 3

Primeiro, vamos integrar em relação a y. Integramos x^3 e 4y separadamente:
integralx^2^2x x^3 , dy = x^3 cdot (2x - x^2) = x^3(2x - x^2)
integralx^2^2x 4y , dy = 4 cdot [ y^22 ]x^2^2x = 2 cdot ( (2x)^2 - (x^2)^2 ) = 2(4x^2 - x^4)

Passo 4

Agora, somamos os resultados das integrais em y:
x^3(2x - x^2) + 2(4x^2 - x^4) = 2x^4 - x^5 + 8x^2 - 2x^4 = -x^5 + 8x^2

Passo 5

Agora, precisamos integrar essa expressão resultante em relação a x, de 0 a 2:
integral0^2 (-x^5 + 8x^2) , dx = [ -x^66 + 8x^33 ]0^2

Passo 6

Substituindo os limites na antiderivada:
( -2^66 + 8 cdot 2^33 ) - ( 0 ) = -646 + 643 = -323 + 643 = 323

Resposta

O valor da integral dupla é 323.

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