Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com integrais múltiplas, especificamente uma integral tripla. Para resolver, vamos integrar passo a passo em relação a , depois e por último .
Passo 2
Primeiro, vamos integrar em relação a . A expressão dentro da integral é . A integral de em relação a é:
Como estamos avaliando de até , substituímos esses limites:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão. Primeiro, expandimos os termos:
Para :
Somando esses termos:
Para :
Somando esses termos:
Subtraindo as duas expressões:
Passo 4
Agora, vamos integrar essa expressão resultante em relação a , com variando de 0 a :
Integramos termo a termo:
Substituindo :
Simplificando:
Somando os termos semelhantes:
Passo 5
Finalmente, vamos integrar essa expressão resultante em relação a integral0^1 ( 72x^3 - 32x^4 - 12x^5 ) dx , de 0 a 1:
72 cdot x^44 - 32 cdot x^55 - 12 cdot x^66 |0^1
Mais uma vez, integramos termo a termo:
78x^4 - 310x^5 - 112x^6 |0^1
Simplificando:
( 78 - 310 - 112 ) - 0 = 78 - 310 - 112
Substituindo e :
Passo 6
Vamos calcular essa diferença:
Primeiro, encontramos um denominador comum, que é 120: