Calcule as seguintes integrais:
c) integral0^1 integral0^x integralx^2^x+y x+y+z d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular:
integral0^1 integral0^x integralx^2^x+y (x + y + z) , dz , dy , dx
Aqui, estamos lidando com integrais múltiplas, especificamente uma integral tripla. Para resolver, vamos integrar passo a passo em relação a , depois e por último .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral (x + y + z) , dz = xz + yz + 12z^2 + C . A expressão dentro da integral é [ xz + yz + 12z^2 ]z = x^2^z = x + y = ( x(x + y) + y(x + y) + 12(x + y)^2 ) - ( x(x^2) + y(x^2) + 12(x^2)^2 ) . A integral de em relação a é:
Como estamos avaliando de até , substituímos esses limites:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão. Primeiro, expandimos os termos:
Para x(x + y) = x^2 + xy :
y(x + y) = xy + y^2
12(x + y)^2 = 12(x^2 + 2xy + y^2) = 12x^2 + xy + 12y^2
x^2 + xy + xy + y^2 + 12x^2 + xy + 12y^2 = 32x^2 + 3xy + 32y^2
Somando esses termos:
x(x^2) = x^3
Para y(x^2) = x^2y :
12(x^2)^2 = 12x^4
x^3 + x^2y + 12x^4
( 32x^2 + 3xy + 32y^2 ) - ( x^3 + x^2y + 12x^4 ) = 32x^2 + 3xy + 32y^2 - x^3 - x^2y - 12x^4
Somando esses termos:
Subtraindo as duas expressões:

Passo 4

Agora, vamos integrar essa expressão resultante em relação a integral0^x ( 32x^2 + 3xy + 32y^2 - x^3 - x^2y - 12x^4 ) dy , com 32x^2 y + 32x y^2 + 12y^3 - x^3 y - 12x^2y^2 - 12x^4 y |0^x variando de 0 a 32x^3 + 32x cdot x^2 + 12x^3 - x^3 cdot x - 12x^2 cdot x^2 - 12x^4 cdot x :
32x^3 + 32x^3 + 12x^3 - x^4 - 12x^4 - 12x^5
Integramos termo a termo:
( 32 + 32 + 12 )x^3 - ( 1 + 12 )x^4 - 12x^5 = 72x^3 - 32x^4 - 12x^5
Substituindo :
Simplificando:
Somando os termos semelhantes:

Passo 5

Finalmente, vamos integrar essa expressão resultante em relação a integral0^1 ( 72x^3 - 32x^4 - 12x^5 ) dx , de 0 a 1:
72 cdot x^44 - 32 cdot x^55 - 12 cdot x^66 |0^1
Mais uma vez, integramos termo a termo:
78x^4 - 310x^5 - 112x^6 |0^1
Simplificando:
( 78 - 310 - 112 ) - 0 = 78 - 310 - 112
Substituindo e :

Passo 6

Vamos calcular essa diferença:
Primeiro, encontramos um denominador comum, que é 120:
78 = 105120, 310 = 36120, 112 = 10120
Substituindo:
105120 - 36120 - 10120 = 105 - 36 - 10120 = 59120

Resposta

O valor da integral tripla é:
59120

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