a)
b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas partes aqui:
a) Mostrar que para todo número natural , .
b) Mostrar que para todo , .
Vamos usar conceitos de progressão matemática e indução matemática para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parte a): Queremos provar que para todos os naturais (1, 2, 3, …).

Passo 3

Para provar isso, vamos usar indução matemática, que é uma técnica onde mostramos que a afirmação é verdadeira para um caso inicial e que se for verdadeira para um número , também é verdadeira para .

Passo 4

Passo 1 da Indução: Vamos verificar se a afirmação é verdadeira para .
Substituindo na desigualdade:
Isso é verdadeiro.

Passo 5

Passo 2 da Indução: Agora, assumimos que para um certo , a desigualdade é verdadeira. Essa é a hipótese de indução.

Passo 6

Passo 3 da Indução: Precisamos mostrar que, se , então .
Vamos começar com a hipótese:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Agora, queremos mostrar que .
Sabemos que para :
Então:
Porque .

Passo 7

Como mostramos que a desigualdade é verdadeira para e que, se for verdadeira para , também é verdadeira para , por indução matemática, concluímos que para todo .

Passo 8

Agora, vamos para a parte b): Queremos mostrar que para todo .

Passo 9

Vamos novamente usar indução matemática para provar essa parte.

Passo 10

Passo 1 da Indução: Verificamos se a afirmação é verdadeira para .
Substituindo:
Então:
Verdadeiro.

Passo 11

Passo 2 da Indução: Assumimos que para algum , a desigualdade é verdadeira.

Passo 12

Passo 3 da Indução: Precisamos mostrar que .
Vamos começar com a expressão:
Queremos comparar com .
Sabemos pela hipótese de indução que , então:
Mas para , , então:
(pois para )
Então:

Passo 13

Assim, por indução matemática, concluímos que para todo .

Resposta

a) Para todo , .
b) Para todo , .

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Calcule as seguintes integrais:
c)
Calcule cada uma das integrais. Se necessário, inverta a ordem de integração:
b)
(3 pts) Esboce o gráfico da funçâo e determine seu dominio e imagem.
pts) Se e encontre e seu dominio.