a)
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas partes aqui:
a) Mostrar que para todo número natural ,
.
b) Mostrar que para todo ,
.
a) Mostrar que para todo número natural
b) Mostrar que para todo
Vamos usar conceitos de progressão matemática e indução matemática para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parte a): Queremos provar que
para todos os
naturais (1, 2, 3, …).
Passo 3
Para provar isso, vamos usar indução matemática, que é uma técnica onde mostramos que a afirmação é verdadeira para um caso inicial e que se for verdadeira para um número
, também é verdadeira para
.
Passo 4
Passo 1 da Indução: Vamos verificar se a afirmação é verdadeira para
.
Substituindo na desigualdade:
Isso é verdadeiro.
Passo 5
Passo 2 da Indução: Agora, assumimos que para um certo
, a desigualdade
é verdadeira. Essa é a hipótese de indução.
Passo 6
Passo 3 da Indução: Precisamos mostrar que, se
, então
.
Vamos começar com a hipótese:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Agora, queremos mostrar que
.
Sabemos que para
:
Então:
Porque
.
Passo 7
Como mostramos que a desigualdade é verdadeira para
e que, se for verdadeira para
, também é verdadeira para
, por indução matemática, concluímos que
para todo
.
Passo 8
Agora, vamos para a parte b): Queremos mostrar que
para todo
.
Passo 9
Vamos novamente usar indução matemática para provar essa parte.
Passo 10
Passo 1 da Indução: Verificamos se a afirmação é verdadeira para
.
Substituindo:
Então:
Verdadeiro.
Passo 11
Passo 2 da Indução: Assumimos que para algum
, a desigualdade
é verdadeira.
Passo 12
Passo 3 da Indução: Precisamos mostrar que
.
Vamos começar com a expressão:
Queremos comparar com
.
Sabemos pela hipótese de indução que
, então:
Mas para
,
, então:
Então:
Passo 13
Assim, por indução matemática, concluímos que
para todo
.
Resposta
a) Para todo
,
.
b) Para todo
,
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais:
c)
c)
Calcule cada uma das integrais. Se necessário, inverta a ordem de integração:
b)
b)
(3 pts) Esboce o gráfico da funçâo
e determine seu dominio e imagem.