Calcule cada uma das integrais. Se necessário, inverta a ordem de integração:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla
. Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas, e pode ser que precisemos inverter a ordem de integração para facilitar a resolução. Para isso, vamos analisar a região de integração e ver qual é a melhor estratégia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral está definida como
indo de 0 a 4, e para cada
,
vai de
a 4. Isso significa que a região de integração é um triângulo no plano
, onde
e
.
Passo 3
Para simplificar a resolução, vamos inverter a ordem de integração. Isso significa que, ao invés de integrar primeiro em
de
a 4, vamos integrar primeiro em
de 0 a
. Assim, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a
. Como
não depende de
, a integral fica:
Então, nossa integral dupla reduz para:
Passo 5
Para resolver
, fazemos uma substituição simples:
Seja
, então
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Agora, avaliamos de 0 a 4:
Resposta
A integral dupla vale
.
Exercícios relacionados
Resolva a equação diferencial dada por
e
usando transformada de Laplace.
Calcule as seguintes integrais:
a)
a)