Calcule cada uma das integrais. Se necessário, inverta a ordem de integração:
c) integral0^4 integraly^4 e^-x^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla . Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas, e pode ser que precisemos inverter a ordem de integração para facilitar a resolução. Para isso, vamos analisar a região de integração e ver qual é a melhor estratégia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral está definida como indo de 0 a 4, e para cada , vai de a 4. Isso significa que a região de integração é um triângulo no plano , onde e .

Passo 3

Para simplificar a resolução, vamos inverter a ordem de integração. Isso significa que, ao invés de integrar primeiro em integral0^4 integral0^x e^-x^2 , dy , dx de a 4, vamos integrar primeiro em de 0 a . Assim, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a integral0^x e^-x^2 , dy = e^-x^2 cdot (x - 0) = x cdot e^-x^2 . Como integral0^4 x cdot e^-x^2 , dx não depende de , a integral fica:
Então, nossa integral dupla reduz para:

Passo 5

Para resolver integral x cdot e^-x^2 , dx = -12 integral e^u , du = -12 e^u + C = -12 e^-x^2 + C , fazemos uma substituição simples:
Seja [ -12 e^-x^2 ]0^4 = -12 e^-16 + 12 e^0 = -12 e^-16 + 12 , então , ou seja, .
Substituindo na integral:
Agora, avaliamos de 0 a 4:

Resposta

A integral dupla vale .

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