Resolva a equação diferencial dada por
e
usando transformada de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a seguinte equação diferencial:
com as condições iniciais
e
. O objetivo aqui é resolver essa equação usando a Transformada de Laplace, uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando temos condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Sabemos que:
- A transformada de
é - A transformada de
é - A transformada de
é
Aplicando isso na equação:
Substituindo pelas transformadas:
Passo 3
Agora, vamos substituir as condições iniciais
e
na equação:
Simplificando:
Passo 4
Vamos fatorar
no lado esquerdo da equação:
Para isolar
:
Passo 5
Agora, precisamos simplificar a expressão para facilitar a aplicação da Transformada Inversa de Laplace. Vamos fatorar
:
Então, temos:
Passo 6
Para encontrar
, precisamos realizar a Transformada Inversa de Laplace de
. Observamos que:
Podemos decompor essa fração em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Da equação 1:
Da equação 2:
Substituindo na equação 3:
Então:
Portanto:
Passo 7
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo separadamente:
Portanto:
Simplificando:
Resposta
A solução da equação diferencial é: