Resolva a equação diferencial dada por y'' + 4 y' = 10 cos(5 t), y(0)=0 e y'(0) = 0 usando transformada de Laplace.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a seguinte equação diferencial:
com as condições iniciais e . O objetivo aqui é resolver essa equação usando a Transformada de Laplace, uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando temos condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Sabemos que:
  • A transformada de é
  • A transformada de é
  • A transformada de é
Aplicando isso na equação:
Substituindo pelas transformadas:

Passo 3

Agora, vamos substituir as condições iniciais e na equação:
Simplificando:

Passo 4

Vamos fatorar no lado esquerdo da equação:
Para isolar :

Passo 5

Agora, precisamos simplificar a expressão para facilitar a aplicação da Transformada Inversa de Laplace. Vamos fatorar :
Então, temos:

Passo 6

Para encontrar , precisamos realizar a Transformada Inversa de Laplace de . Observamos que:
Podemos decompor essa fração em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Da equação 1:
Da equação 2:
Substituindo na equação 3:
Então:
Portanto:

Passo 7

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo separadamente:
Portanto:
Simplificando:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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