Calcule as seguintes integrais:
a) integral0^1 integral0^x^2 e^yx d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla que foi proposta:
integral0^1 integral0^x^2 e^yx , dy , dx
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções exponenciais e como lidar com os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a integral0^x^2 e^yx , dy :
Para integrar em relação a , fazemos uma substituição simples. Vamos deixar , então , ou seja, .

Passo 3

Substituindo na integral, temos:
integral0^x^2 e^yx , dy = integral0^x^2x e^u cdot x , du = x integral0^x e^u , du
Aqui, mudamos os limites de integração de para . Quando , , e quando , .

Passo 4

Agora, vamos integrar x integral0^x e^u , du = x [ e^u ]0^x = x (e^x - e^0) = x (e^x - 1) em relação a :
Simplificamos usando que .

Passo 5

Agora, temos que substituir esse resultado de volta na integral externa:
integral0^1 x (e^x - 1) , dx
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
integral0^1 x e^x , dx - integral0^1 x , dx

Passo 6

Primeiro, resolvemos x e^x - integral e^x , dx = x e^x - e^x + C . Para isso, usamos a integração por partes, onde escolhemos:
  • (1 cdot e^1 - e^1) - (0 cdot e^0 - e^0) = (e - e) - (0 - 1) = 0 + 1 = 1
Aplicando a fórmula da integração por partes :
Avaliando de 0 a 1:

Passo 7

Agora, resolvemos a segunda integral 12 x^2 g|0^1 = 12 (1^2 - 0^2) = 12 (1 - 0) = 12 :

Passo 8

Juntando os resultados das duas integrais:
1 - 12 = 12

Resposta

O valor da integral dupla é .

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