integral 2 x^3-3 x^2+2 x-4x^2+4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A gente está lidando com uma função racional, que é uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar dividir os polinômios e depois integrar cada parte separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a divisão dos dois polinômios: dividido por . Isso porque o grau do numerador (3) é maior que o do denominizador (2), então a divisão vai simplificar a expressão.

Passo 3

Dividindo (2x^3 - 3x^2 + 2x - 4) - (2x cdot x^2 + 2x cdot 4) = (2x^3 - 3x^2 + 2x - 4) - (2x^3 + 8x) = -3x^2 - 6x - 4 por , a gente consegue . Multiplicamos por e subtraímos do numerador:

Passo 4

Agora, dividimos (-3x^2 - 6x - 4) - (-3 cdot x^2 + -3 cdot 4) = (-3x^2 - 6x - 4) - (-3x^2 - 12) = -6x + 8 por e obtemos . Multiplicamos por e subtraímos do que restou:
Então, a divisão resultou em com resto .

Passo 5

Agora, podemos escrever a integral original como a soma da parte inteira da divisão e do resto sobre o denominador:
integral 2x^3 - 3x^2 + 2x - 4x^2 + 4 , dx = integral (2x - 3) , dx + integral -6x + 8x^2 + 4 , dx

Passo 6

Vamos integrar cada parte separadamente. A primeira integral é simples:
integral (2x - 3) , dx = x^2 - 3x + C1
onde é uma constante de integração.

Passo 7

Agora, focando na segunda integral -6 integral xx^2 + 4 , dx + 8 integral 1x^2 + 4 , dx , podemos separar em duas frações:

Passo 8

Para a primeira parte -6 cdot 12 integral 1u , du = -3 ln|u| + C2 = -3 ln(x^2 + 4) + C2 , usamos a substituição , então , ou seja, . Assim:

Passo 9

Para a segunda parte integral 1x^2 + a^2 , dx = 1a tan^-1(xa) + C , reconhecemos que é uma forma padrão que leva ao arco tangente. Sabemos que:
8 cdot 12 tan^-1(x2) + C3 = 4 tan^-1(x2) + C3
Aqui, então . Assim:

Passo 10

Juntando todas as partes, temos:
x^2 - 3x + (-3 ln(x^2 + 4)) + 4 tan^-1(x2) + C
onde é a constante de integração geral.

Resposta

A integral é igual a:
x^2 - 3x - 3 ln(x^2 + 4) + 4 tan^-1(x2) + C

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