Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. A gente está lidando com uma função racional, que é uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar dividir os polinômios e depois integrar cada parte separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a divisão dos dois polinômios:
dividido por
. Isso porque o grau do numerador (3) é maior que o do denominizador (2), então a divisão vai simplificar a expressão.
Passo 3
Dividindo
por
, a gente consegue
. Multiplicamos
por
e subtraímos do numerador:
Passo 4
Agora, dividimos
por
e obtemos
. Multiplicamos
por
e subtraímos do que restou:
Então, a divisão resultou em
com resto
.
Passo 5
Agora, podemos escrever a integral original como a soma da parte inteira da divisão e do resto sobre o denominador:
Passo 6
Vamos integrar cada parte separadamente. A primeira integral é simples:
onde
é uma constante de integração.
Passo 7
Agora, focando na segunda integral
, podemos separar em duas frações:
Passo 8
Para a primeira parte
, usamos a substituição
, então
, ou seja,
. Assim:
Passo 9
Para a segunda parte
, reconhecemos que é uma forma padrão que leva ao arco tangente. Sabemos que:
Aqui,
então
. Assim:
Passo 10
Juntando todas as partes, temos:
onde
é a constante de integração geral.
Resposta
A integral é igual a: