Calcule cada uma das integrais. Se necessário, inverta a ordem de integração:
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral
. Estamos lidando com cálculo de integrais duplas, que é uma parte da matéria de Cálculo Integral. Para resolver, vamos precisar entender como manipular os limites de integração e, possivelmente, inverter a ordem de integração para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano
. O limite inferior para
é
e o limite superior é 2, enquanto
varia de 0 a 4. Isso significa que estamos integrando sobre uma área onde
está entre
e 2, e
entre 0 e 4.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos inverter a ordem de integração. Em vez de integrar
de
a 2 e depois
de 0 a 4, vamos integrar
de 0 a
(já que
é a inversa de
) e
de 0 a 2. Assim, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar em relação a
primeiro. A integral interna é:
Como
é constante em relação a
, podemos tratar
fora da integral:
A integral de
em relação a
é
, então:
Passo 5
Agora, nossa integral dupla reduziu para uma única integral em
:
Para resolver essa integral, podemos usar substituição. Vamos deixar
, então
, ou seja,
.
Substituindo:
Passo 6
Agora, integramos
:
Resposta
A integral vale
.