Calcule cada uma das integrais. Se necessário, inverta a ordem de integração:
d) integral0^4 integralraizy^2 x^3 cos (x y) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral . Estamos lidando com cálculo de integrais duplas, que é uma parte da matéria de Cálculo Integral. Para resolver, vamos precisar entender como manipular os limites de integração e, possivelmente, inverter a ordem de integração para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano . O limite inferior para é e o limite superior é 2, enquanto varia de 0 a 4. Isso significa que estamos integrando sobre uma área onde está entre e 2, e entre 0 e 4.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos inverter a ordem de integração. Em vez de integrar integral0^2 integral0^x^2 x^3 cos(x y) , dy , dx de a 2 e depois de 0 a 4, vamos integrar de 0 a (já que é a inversa de ) e de 0 a 2. Assim, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a integral0^x^2 x^3 cos(x y) , dy primeiro. A integral interna é:
x^3 integral0^x^2 cos(x y) , dy
Como x^3 [ sin(x y)x ]0^x^2 = x^3 ( sin(x cdot x^2)x - sin(0)x ) = x^3 ( sin(x^3)x ) = x^2 sin(x^3) é constante em relação a , podemos tratar fora da integral:
A integral de em relação a é , então:

Passo 5

Agora, nossa integral dupla reduziu para uma única integral em integral0^2 x^2 sin(x^3) , dx :
integralu=0^u=8 sin(u) cdot du3 = 13 integral0^8 sin(u) , du
Para resolver essa integral, podemos usar substituição. Vamos deixar , então , ou seja, .
Substituindo:

Passo 6

Agora, integramos 13 [ -cos(u) ]0^8 = 13 ( -cos(8) + cos(0) ) = 13 (1 - cos(8)) :

Resposta

A integral vale .

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